Calcule a energia para a temperatura T no modelo de Debye, considerando fonões acústicos. Discuta, para baixas temperaturas ( T \ll \Theta_{D} ), a semelhança com a radiação de corpo negro de Planck.
42. Considere a cadeia linear infinita de átomos iguais interagindo com forças representadas por um modelo de molas elástica.
(a) Escreva a equação diferencial do movimento da n-ésima massa.
(b) Experimente uma solução em forma de onda e obtenha a relação de dispersão.
43. Repita o exercício anterior, considerando dois tipos diferentes de átomos dispostos alternadamente. Considerando que existem duas amplitudes, uma para átomos “pares” e outra para átomos “ímpares”, obtenha a dispersão do ramo óptico e a do ramo acústico.

Passo 1

O enunciado pede três coisas principais:
  1. No modelo de Debye para fonões acústicos, calcular a energia interna U(T) e, no limite de baixas temperaturas \bigl(T\ll\Theta_{D}\bigr), discutir a semelhança com a lei de radiação de corpo negro de Planck.
  2. Para uma cadeia linear infinita de átomos idênticos ligados por molas, (a) escrever a equação do movimento da n-ésima massa e (b) obter a relação de dispersão a partir de uma solução em ondas.
  3. Repetir o item anterior para uma cadeia diatômica (massas m e M alternadas), encontrando os ramos acústico e óptico da dispersão.
Conteúdos necessários: soma sobre modos vibracionais e aproximação contínua (modelo de Debye), mecânica clássica de redes monoméricas e diatômicas, métodos de solução por modos normais.

Passo 2

No modelo de Debye, tratamos fonões acústicos como modos harmônicos com frequências contínuas até um corte \omega_{D}. A energia interna é a soma sobre todos os modos:
U = \sum_{\mathbf{k}} \hbar\omega_{\mathbf{k}} \bigl(n_{\mathbf{k}} + \tfrac12\bigr),
onde n_{\mathbf{k}}=[\exp(\hbar\omega_{\mathbf{k}}/k_{B}T)-1]^{-1}. Em aproximação contínua, substituímos a soma por integral em \omega com densidade de estados g(\omega)=3N\,\omega^{2}/\omega_{D}^{3} (só acústicos) e desprezamos o termo zero-ponto para energia térmica:
U(T) = \int_{0}^{\omega_{D}} \hbar\omega\;\frac{1}{e^{\hbar\omega/k_{B}T}-1}\; g(\omega)\,d\omega = 9N k_{B}T\Bigl(\frac{T}{\Theta_{D}}\Bigr)^{3} \int_{0}^{\Theta_{D}/T}\frac{x^{3}}{e^{x}-1}\,dx,
onde definimos x=\hbar\omega/k_{B}T e \Theta_{D}=\hbar\omega_{D}/k_{B}.

Passo 3

Para T\ll\Theta_{D}, o limite superior da integral vai a infinito e usamos
\int_{0}^{\infty}\frac{x^{3}}{e^{x}-1}\,dx = \frac{\pi^{4}}{15}.
Assim
U(T) \approx 9N k_{B}T\Bigl(\frac{T}{\Theta_{D}}\Bigr)^{3} \frac{\pi^{4}}{15} = \frac{3\pi^{4}}{5}\,N k_{B}\,\frac{T^{4}}{\Theta_{D}^{3}}.
Isso mostra U\propto T^{4} e, como C_{V}=dU/dT\propto T^{3}, reproduz o comportamento de Stefan–Boltzmann/Planck U_{\rm rad}\propto T^{4} para fótons, evidenciando analogia entre fonões acústicos e radiação de corpo negro.

Passo 4

(a) Na cadeia monomérica com massa m em cada sítio e constante da mola k, denotando u_{n}(t) o deslocamento da massa n, a força resultante é
m\frac{d^{2}u_{n}}{dt^{2}} = -k\bigl[u_{n}-u_{n-1}\bigr] - k\bigl[u_{n}-u_{n+1}\bigr] = k\bigl(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_{n}\bigr).

Passo 5

(b) Tentamos u_{n}(t)=u\,e^{i(q n a - \omega t)}. Substituindo na equação de movimento:
-m\omega^{2}u = k\bigl(e^{iqa}+e^{-iqa}-2\bigr)u = 2k\bigl[\cos(qa)-1\bigr]u = -4k\sin^{2}\tfrac{qa}{2}\;u.
Logo a relação de dispersão é
\omega^{2}(q) = \frac{4k}{m}\,\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{qa}{2}\bigr), \quad \omega(q)=2\sqrt{\tfrac{k}{m}}\;\bigl|\sin\tfrac{qa}{2}\bigr|.

Passo 6

Para a cadeia diatômica, considere duas sub-redes: em n par massa M com deslocamento V_{n}, em n ímpar massa m com U_{n}. As equações são
m\ddot U_{n} = k\bigl(V_{n}+V_{n-1}-2U_{n}\bigr), \quad M\ddot V_{n} = k\bigl(U_{n}+U_{n+1}-2V_{n}\bigr).

Passo 7

Assumimos modos normais
U_{n}=U\,e^{i(q n a -\omega t)}, \quad V_{n}=V\,e^{i(q n a -\omega t)}.
Isso leva ao sistema linear em (U,V). A condição de não-trivialidade dá determinante zero, resultando em
\omega^{2} = k\Bigl(\tfrac{1}{m}+\tfrac{1}{M}\Bigr) \pm \sqrt{\Bigl(\tfrac{1}{m}+\tfrac{1}{M}\Bigr)^{2} - \frac{4}{mM}\,\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{qa}{2}\bigr)}.
O sinal “ -” dá o ramo acústico \omega\to0 para q\to0 e “ +” o ramo óptico (freqüência finita em q\to0).

Resposta

Energia no modelo de Debye:
U(T)=9N k_{B}T\Bigl(\frac{T}{\Theta_{D}}\Bigr)^{3} \int_{0}^{\Theta_{D}/T}\frac{x^{3}}{e^{x}-1}\,dx,
e para T\ll\Theta_{D},
U(T)\approx \frac{3\pi^{4}}{5}\,N k_{B}\,\frac{T^{4}}{\Theta_{D}^{3}},
mostrando a mesma lei U\propto T^{4} da radiação de corpo negro.
Cadeia monomérica:
m\ddot u_{n} = k(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_{n}), \quad \omega^{2}(q)=\frac{4k}{m}\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{qa}{2}\bigr).
Cadeia diatômica (massas m,M):
\omega^{2}(q) = k\Bigl(\tfrac{1}{m}+\tfrac{1}{M}\Bigr) \pm \sqrt{\Bigl(\tfrac{1}{m}+\tfrac{1}{M}\Bigr)^{2} - \frac{4}{mM}\sin^{2}\!\bigl(\tfrac{qa}{2}\bigr)},
com “ -” ramo acústico e “ +” ramo óptico.

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