Considere a cadeia linear infinita de átomos iguais interagindo com forças representadas por um modelo de molas elástica.
(a) Escreva a equação diferencial do movimento da n-ésima massa.
(b) Experimente uma solução em forma de onda e obtenha a relação de dispersão.

Passo 1

Estamos considerando uma cadeia linear infinita de átomos idênticos de massa M, espaçados por a, ligados por molas de constante elástica k. O objetivo é (a) escrever a equação de movimento da n-ésima massa u_n(t) e (b) obter a relação de dispersão assumindo uma solução em forma de onda.

Passo 2

Para a n-ésima massa, as duas molas vizinhas exercem forças \;k\bigl(u_{n+1}-u_n\bigr) e -\,k\bigl(u_n-u_{n-1}\bigr).
Pela segunda lei de Newton temos
M\frac{\mathrm{d}^2u_n}{\mathrm{d}t^2} = k\bigl(u_{n+1}-u_n\bigr)-k\bigl(u_n-u_{n-1}\bigr) = k\bigl(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n\bigr).

Passo 3

Experimentamos uma solução de onda viajante discreta
u_n(t)=U\,e^{i\bigl(q\,n a-\omega t\bigr)},
onde q é o número de onda, \omega a frequência angular e U a amplitude complexa.

Passo 4

Substituindo na equação de movimento:
M(-\omega^2)Ue^{i(qna-\omega t)} = k\bigl[e^{i(q(n+1)a-\omega t)}+e^{i(q(n-1)a-\omega t)}-2e^{i(qna-\omega t)}\bigr].
Cancelando Ue^{i(qna-\omega t)} obtemos
-M\omega^2 = k\bigl(e^{iqa}+e^{-iqa}-2\bigr) = -2k\bigl(1-\cos(q a)\bigr),
ou seja
M\omega^2=2k\bigl(1-\cos(q a)\bigr).

Passo 5

Usando a identidade trigonométrica \;1-\cos\theta=2\sin^2(\theta/2),
a relação de dispersão fica
\omega^2=\frac{4k}{M}\sin^2\!\Bigl(\frac{q a}{2}\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad \omega=2\sqrt{\frac{k}{M}}\;\Bigl|\sin\!\bigl(\tfrac{q a}{2}\bigr)\Bigr|.

Resposta

(a) \;M\displaystyle\frac{\mathrm{d}^2u_n}{\mathrm{d}t^2} = k\bigl(u_{n+1}+u_{n-1}-2u_n\bigr).
(b) \;\omega^2=\dfrac{4k}{M}\sin^2\!\bigl(\tfrac{q a}{2}\bigr), ou \;\omega=2\sqrt{\tfrac{k}{M}}\,\bigl|\sin(\tfrac{q a}{2})\bigr|.

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