Calcule as entegrais abaixo:
\int \frac{t}{\sqrt{t+1}} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{t}{\sqrt{t+1}}\,dt.
O conteúdo aqui é técnica de substituição simples e uso da regra de potência para integrar expressões da forma u^p.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = t + 1,
portanto
t = u - 1 \quad\text{e}\quad dt = du.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \frac{t}{\sqrt{t+1}}\,dt = \int \frac{u - 1}{\sqrt{u}}\,du = \int \bigl(u^{\tfrac12} - u^{-\tfrac12}\bigr)\,du.

Passo 4

Integramos termo a termo usando a regra \displaystyle\int u^p\,du = \frac{u^{p+1}}{p+1}:
\int u^{\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac32}}{\tfrac32} = \frac{2}{3}\,u^{\tfrac32}, \quad \int u^{-\tfrac12}\,du = \frac{u^{\tfrac12}}{\tfrac12} = 2\,u^{\tfrac12}.
Logo,
\int \bigl(u^{\tfrac12} - u^{-\tfrac12}\bigr)\,du = \frac{2}{3}\,u^{\tfrac32} - 2\,u^{\tfrac12} + C.

Passo 5

Voltando à variável t, com u = t + 1, obtemos
\frac{2}{3}(t+1)^{\tfrac32} - 2\,(t+1)^{\tfrac12} + C.

Resposta

\int \frac{t}{\sqrt{t+1}}\,dt = \frac{2}{3}(t+1)^{\tfrac32} - 2\,(t+1)^{\tfrac12} + C.

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