Calcule as entegrais abaixo:
\int \frac{2 x^{2}-1}{\left(6 x^{3}-9 x+1\right)^{3 / 2}}

Passo 1

O problema pede para calcular a integral
\int \frac{2x^{2}-1}{\bigl(6x^{3}-9x+1\bigr)^{3/2}}\,dx.
O conteúdo é integração por substituição: percebemos que a derivada de 6x^{3}-9x+1 é proporcional ao numerador 2x^{2}-1.

Passo 2

Definimos a substituição
u = 6x^{3}-9x+1.
Então
\frac{du}{dx} = 18x^{2}-9 = 9\,(2x^{2}-1) \quad\Longrightarrow\quad du = 9\,(2x^{2}-1)\,dx \quad\Longrightarrow\quad (2x^{2}-1)\,dx = \frac{1}{9}\,du.

Passo 3

Em função de u, a integral vira
\int \frac{2x^{2}-1}{\bigl(6x^{3}-9x+1\bigr)^{3/2}}\,dx = \int \frac{1}{u^{3/2}}\;\frac{1}{9}\,du = \frac{1}{9}\int u^{-3/2}\,du.
Agora integramos
\int u^{-3/2}\,du = \frac{u^{-1/2}}{-\tfrac12} = -2\,u^{-1/2}.
Logo
\frac{1}{9}\int u^{-3/2}\,du = -\frac{2}{9}\,u^{-1/2} + C.

Passo 4

Voltando à variável x, temos
u^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{u}} = \frac{1}{\sqrt{6x^{3}-9x+1}}.
Portanto a primitiva é
-\frac{2}{9}\,\frac{1}{\sqrt{6x^{3}-9x+1}} + C.

Resposta

\int \frac{2x^{2}-1}{\bigl(6x^{3}-9x+1\bigr)^{3/2}}\,dx = -\frac{2}{9\,\sqrt{6x^{3}-9x+1}} + C.

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