Calcule as entegrais abaixo:
\int \frac{2 x}{(2-x)^{2 / 3}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral
\int \frac{2x}{(2-x)^{2/3}}\,dx.
O conteúdo aqui é integração por substituição (mudança de variável). Para simplificar o denominador, vamos usar a substituição
u = 2 - x.

Passo 2

Da substituição u=2-x segue
x = 2 - u, \quad dx = -\,du.
Substituindo na integral, temos
\int \frac{2x}{(2-x)^{2/3}}\,dx = \int 2(2-u)\,u^{-2/3}\,(-du) = -2\int (2-u)\,u^{-2/3}\,du.

Passo 3

Distribuindo u^{-2/3} dentro do parêntese:
-2\int \bigl(2u^{-2/3}-u^{1-2/3}\bigr)\,du = -2\int \bigl(2u^{-2/3}-u^{1/3}\bigr)\,du.

Passo 4

Agora usamos a regra de potência para cada termo:
  1. \displaystyle \int u^{-2/3}\,du = \frac{u^{1/3}}{1/3}=3\,u^{1/3}.
  2. \displaystyle \int u^{1/3}\,du = \frac{u^{4/3}}{4/3}=\frac{3}{4}\,u^{4/3}.
Logo,
-2\int \bigl(2u^{-2/3}-u^{1/3}\bigr)\,du = -2\Bigl[2\cdot(3u^{1/3}) - \frac{3}{4}u^{4/3}\Bigr] = -2\bigl(6u^{1/3}-\tfrac{3}{4}u^{4/3}\bigr) = -12u^{1/3}+\tfrac{3}{2}u^{4/3}.

Passo 5

Voltando à variável x com u=2-x, a primitiva é
F(x) = -12\,(2-x)^{1/3} + \tfrac{3}{2}\,(2-x)^{4/3} + C.

Resposta

\boxed{ \int \frac{2x}{(2-x)^{2/3}}\,dx = -12\,(2-x)^{1/3} + \tfrac{3}{2}\,(2-x)^{4/3} + C }.

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