Calcule as entegrais abaixo:
\int \sqrt[3]{3 x^{2}+5} \cdot x^{3} d x

Passo 1

O enunciado pede
\displaystyle \int x^{3}\sqrt[3]{3x^{2}+5}\,dx.
Vamos usar substituição para transformar essa raiz cúbica num polinômio em u.

Passo 2

Fazemos
u = 3x^{2}+5,
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du = 6x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{6}\,du.

Passo 3

Como precisamos de x^{3}dx, escrevemos
x^{3}dx = x^{2}\cdot x\,dx = \frac{u-5}{3}\cdot\frac{1}{6}\,du = \frac{u-5}{18}\,du.
E a raiz cúbica vira u^{1/3}. Assim a integral fica
\int x^{3}\sqrt[3]{3x^{2}+5}\,dx = \int \frac{u-5}{18}\,u^{\frac13}\,du = \frac{1}{18}\int (u-5)\,u^{\frac13}\,du.

Passo 4

Expandindo o integrando,
(u-5)\,u^{\frac13} = u^{\frac43}-5\,u^{\frac13},
então
\frac{1}{18}\int\bigl(u^{\frac43}-5\,u^{\frac13}\bigr)\,du = \frac{1}{18}\Bigl[\int u^{\frac43}du \;-\;5\int u^{\frac13}du\Bigr].
Calculamos cada uma:
\int u^{\frac43}du = \frac{u^{\frac73}}{\tfrac73} = \frac{3}{7}\,u^{\frac73}, \quad \int u^{\frac13}du = \frac{u^{\frac43}}{\tfrac43} = \frac{3}{4}\,u^{\frac43}.
Substituindo de volta:
\frac{1}{18}\Bigl[\frac{3}{7}u^{\frac73} - 5\cdot\frac{3}{4}u^{\frac43}\Bigr] = \frac{1}{18}\Bigl[\frac{3}{7}u^{\frac73} - \frac{15}{4}u^{\frac43}\Bigr].

Passo 5

Distribuindo \tfrac{1}{18}:
\frac{3}{18\cdot7}u^{\frac73} \;-\; \frac{15}{18\cdot4}u^{\frac43} = \frac{1}{42}u^{\frac73} - \frac{5}{24}u^{\frac43} + C.
Voltando a u=3x^{2}+5, obtemos a antiderivada:

Resposta

\frac{(3x^{2}+5)^{\frac{7}{3}}}{42} \;-\; \frac{5\,(3x^{2}+5)^{\frac{4}{3}}}{24} + C.

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