Calcule f^{\prime}(x), sendo
f(x)=\left(\frac{x+1}{x^{2}+1}\right)^{4}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\left(\frac{x+1}{x^{2}+1}\right)^{4}.
Aqui o conteúdo é derivada de função composta envolvendo potência e quociente. Vamos aplicar a regra da cadeia e, para a parte interna, a regra do quociente.

Passo 2

Definimos
u(x)=\frac{x+1}{x^{2}+1},
de modo que f(x)=u(x)^{4}. Pela regra da cadeia,
f'(x)=4\,u(x)^{3}\,u'(x).

Passo 3

Para achar u'(x), usamos a regra do quociente com v(x)=x+1 e w(x)=x^{2}+1:
u(x)=\frac{v(x)}{w(x)},\quad u'(x)=\frac{v'(x)\,w(x)-v(x)\,w'(x)}{w(x)^{2}}.
Aqui v'(x)=1 e w'(x)=2x, logo
u'(x) =\frac{1\cdot(x^{2}+1)-(x+1)\cdot2x}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{x^{2}+1-2x^{2}-2x}{(x^{2}+1)^{2}} =\frac{-x^{2}-2x+1}{(x^{2}+1)^{2}}.

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) em f'(x)=4\,u(x)^{3}\,u'(x), temos
f'(x) =4\left(\frac{x+1}{x^{2}+1}\right)^{3} \frac{-x^{2}-2x+1}{(x^{2}+1)^{2}} =4\,\frac{(x+1)^{3}(-x^{2}-2x+1)}{(x^{2}+1)^{5}}.
Extraindo o sinal, fica
f'(x)=-4\,\frac{(x+1)^{3}(x^{2}+2x-1)}{(x^{2}+1)^{5}}.

Resposta

f'(x)=-4\,\frac{(x+1)^{3}(x^{2}+2x-1)}{(x^{2}+1)^{5}}.

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