Calcule as entegrais abaixo:
\int \frac{x^{2}}{\left(4 x^{3}+1\right)^{7}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{x^{2}}{\bigl(4x^{3}+1\bigr)^{7}}\,dx
Esse é um caso clássico de substituição simples, pois dentro da função potência de grau alto aparece uma combinação 4x^{3}+1 cuja derivada é proporcional a x^{2}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 4x^{3} + 1.
Então
du = 12x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{1}{12}\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u temos
\int \frac{x^{2}}{\bigl(4x^{3}+1\bigr)^{7}}\,dx = \int \frac{1}{u^{7}}\;\bigl(x^{2}dx\bigr) = \int u^{-7}\,\frac{1}{12}\,du = \frac{1}{12}\int u^{-7}\,du.
Agora integramos a potência de u:
\int u^{-7}\,du = \frac{u^{-6}}{-6} = -\frac{1}{6}\,u^{-6}.
Logo
\frac{1}{12}\int u^{-7}\,du = \frac{1}{12}\Bigl(-\frac{1}{6}u^{-6}\Bigr) = -\frac{1}{72}\,u^{-6}.

Passo 4

Voltando à variável x pela substituição u=4x^{3}+1, obtemos
-\frac{1}{72}\,u^{-6} + C = -\frac{1}{72}\,\bigl(4x^{3}+1\bigr)^{-6} + C.

Resposta

-\frac{1}{72\,(4x^{3}+1)^{6}} + C

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