Calcule as entegrais abaixo:
\int\left(5 t^{2}+1\right) \sqrt[4]{5 t^{3}+3 t-2} d t

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int\bigl(5t^{2}+1\bigr)\,\sqrt[4]{5t^{3}+3t-2}\;dt.
O conteúdo aplicado aqui é o método de substituição em integrais, aproveitando que a derivada do polinômio dentro da raiz de quarta ordem é proporcional ao fator 5t^{2}+1.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = 5t^{3}+3t-2,
pois
du = \bigl(15t^{2}+3\bigr)\,dt = 3\bigl(5t^{2}+1\bigr)\,dt.
Ou seja,
\bigl(5t^{2}+1\bigr)\,dt = \frac{1}{3}\,du.

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u:
\int\bigl(5t^{2}+1\bigr)\,\sqrt[4]{5t^{3}+3t-2}\;dt = \int \sqrt[4]{u}\,\frac{1}{3}\,du = \frac{1}{3}\int u^{\tfrac{1}{4}}\,du.

Passo 4

Integramos u^{1/4} segundo a regra \int u^{n}du = u^{n+1}/(n+1):
\frac{1}{3}\int u^{\tfrac{1}{4}}\,du = \frac{1}{3}\cdot\frac{u^{\tfrac{5}{4}}}{\tfrac{5}{4}} = \frac{4}{15}\,u^{\tfrac{5}{4}} + C.

Passo 5

Voltando à variável original t, temos
\frac{4}{15}\,\bigl(5t^{3}+3t-2\bigr)^{\tfrac{5}{4}} + C.

Resposta

\int\bigl(5t^{2}+1\bigr)\,\sqrt[4]{5t^{3}+3t-2}\;dt = \frac{4}{15}\,\bigl(5t^{3}+3t-2\bigr)^{\tfrac{5}{4}} + C.

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