Calcule as entegrais abaixo:
\int\left(1-x^{3 / 2}\right)^{5 / 3} \cdot \sqrt{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int\bigl(1 - x^{3/2}\bigr)^{5/3}\,\sqrt{x}\,dx.
O conteúdo é técnica de integração por substituição, pois vemos x^{3/2} cuja derivada envolve \sqrt{x}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 1 - x^{3/2}.
Calculamos du:
du = -\frac{3}{2}\,x^{1/2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{1/2}\,dx = -\tfrac{2}{3}\,du.

Passo 3

Substituindo em
\int\bigl(1 - x^{3/2}\bigr)^{5/3}\,x^{1/2}\,dx
temos
\int u^{5/3}\,\bigl(-\tfrac{2}{3}\,du\bigr) = -\tfrac{2}{3}\int u^{5/3}\,du.

Passo 4

Agora integramos \displaystyle \int u^{5/3}\,du. Como
\int u^{5/3}\,du = \frac{u^{5/3 + 1}}{5/3 + 1} = \frac{u^{8/3}}{8/3} = \frac{3}{8}\,u^{8/3},
temos
-\tfrac{2}{3}\int u^{5/3}\,du = -\tfrac{2}{3}\cdot\frac{3}{8}\,u^{8/3} + C = -\tfrac{1}{4}\,u^{8/3} + C.

Passo 5

Voltando à variável x, com u = 1 - x^{3/2}, o resultado final é
-\frac{1}{4}\bigl(1 - x^{3/2}\bigr)^{8/3} + C.

Resposta

-\frac{1}{4}\bigl(1 - x^{3/2}\bigr)^{8/3} + C

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