Use o teorema de Stokes para calcular \iint_{S} \nabla \times \vec{F} \cdot d \vec{S} onde \vec{F}=\left(x^{2} y^{2}, y^{2} z^{2}, x y z\right), e S é a parte do parabolóide z=x^{2}+y^{2} que está dentro do cilindro x^{2}+y^{2}=4, orientado para cima.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de
\iint_{S} \nabla\times\vec F\cdot d\vec S
onde \vec F=(x^2y^2,\;y^2z^2,\;xyz) e S é a parte do paraboloide z=x^2+y^2 dentro do cilindro x^2+y^2=4, orientada para cima.
Pelo Teorema de Stokes, podemos trocar essa integral de superfície por uma integral de linha sobre a fronteira \partial S:
\iint_{S}\nabla\times\vec F\cdot d\vec S =\oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec r.

Passo 2

A curva \partial S é a interseção do paraboloide com o cilindro x^2+y^2=4. Nela temos
x^2+y^2=4,\quad z=x^2+y^2=4,
que é um círculo de raio 2 no plano z=4. Para orientação induzida pelo normal para cima, tomamos a parametrização contrária-horária vista de cima:
\vec r(t)=\bigl(2\cos t,\;2\sin t,\;4\bigr),\quad t\in[0,2\pi].

Passo 3

Calculamos \vec F(\vec r(t)) e d\vec r=\vec r\,'(t)\,dt.
Em \vec r(t):
x=2\cos t,\quad y=2\sin t,\quad z=4.
Logo
\vec F(\vec r(t)) =\bigl((2\cos t)^2(2\sin t)^2,\;(2\sin t)^2\cdot4^2,\;(2\cos t)(2\sin t)\cdot4\bigr) =(16\cos^2t\sin^2t,\;64\sin^2t,\;16\cos t\sin t).
E
d\vec r=\vec r\,'(t)\,dt =(-2\sin t,\;2\cos t,\;0)\,dt.
O produto escalar é
\vec F\cdot d\vec r =\bigl(16\cos^2t\sin^2t\bigr)(-2\sin t)\,dt +\bigl(64\sin^2t\bigr)(2\cos t)\,dt +0.
Portanto
\vec F\cdot d\vec r =\bigl(-32\cos^2t\sin^3t+128\sin^2t\cos t\bigr)\,dt.

Passo 4

Fazemos
\oint_{\partial S}\vec F\cdot d\vec r =\int_{0}^{2\pi}\bigl(-32\cos^2t\sin^3t+128\sin^2t\cos t\bigr)\,dt.
Cada termo se anula em um período completo:
  • \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\cos^2t\sin^3t\,dt=0 por simetria.
  • \displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sin^2t\cos t\,dt também é zero (substituição u=\sin t u(0)=u(2\pi)).
    Logo a integral total vale zero.

Resposta

0.

Exercícios relacionados