Use o teorema de Stokes para calcular
onde
, e S é a parte do parabolóide
que está dentro do cilindro
, orientado para cima.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo de
onde
e
é a parte do paraboloide
dentro do cilindro
, orientada para cima.
Pelo Teorema de Stokes, podemos trocar essa integral de superfície por uma integral de linha sobre a fronteira :
Pelo Teorema de Stokes, podemos trocar essa integral de superfície por uma integral de linha sobre a fronteira
Passo 2
A curva
é a interseção do paraboloide com o cilindro
. Nela temos
que é um círculo de raio 2 no plano
. Para orientação induzida pelo normal para cima, tomamos a parametrização contrária-horária vista de cima:
Passo 3
Calculamos
e
.
Em :
Em
Logo
E
O produto escalar é
Portanto
Passo 4
Fazemos
Cada termo se anula em um período completo:
-
por simetria. -
também é zero (substituição dá ).
Logo a integral total vale zero.