Dada a equação da elipse E: \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, no sistema ortogonal \sum_{1} \left(O_{1}, \vec{i}, \vec{j}\right). Considere o sistema \sum_{2}=\left(O_{2}, \vec{i}, \vec{j}\right), obtido por uma translaçã Sendo O_{2}=(2,4)_{\Sigma_{1}}, encontre uma equação para E no sistema \Sigma_{2}.

Passo 1

O enunciado nos dá a elipse
\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1
no sistema \Sigma_{1} com origem em O_{1}=(0,0). Queremos a mesma curva vista no sistema \Sigma_{2}, que é obtido por translação de \Sigma_{1} de modo que o novo origem O_{2} em coordenadas de \Sigma_{1} fica em (2,4). O conteúdo aqui é transformação de coordenadas por translação de eixos.

Passo 2

Denotemos por (X,Y) as coordenadas de um ponto P em \Sigma_{2}. Em \Sigma_{1}, as mesmas coordenadas de P são (x,y). Como o sistema \Sigma_{2} foi transladado de (2,4), vale
x = X + 2, \qquad y = Y + 4.

Passo 3

Basta substituir essas expressões na equação da elipse em \Sigma_{1}:
\frac{(X+2)^{2}}{a^{2}} \;+\;\frac{(Y+4)^{2}}{b^{2}} \;=\;1.

Resposta

\frac{(X+2)^{2}}{a^{2}} + \frac{(Y+4)^{2}}{b^{2}} = 1.
Essa é a equação de E em \Sigma_{2}.

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