Tendo um círculo C com centro (0,0,0) e raio r=3 e um plano P=x-y+2 z=0, parametrize o cilindro S ao transladar o círculo C perpendicular ao plano P

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar a superfície S que é o cilindro gerado ao transladar o círculo C de centro (0,0,0) e raio 3 na direção perpendicular ao plano
P: x - y + 2z = 0.
O conteúdo é parametrização de superfícies (cilindro como variação de curva plana). Vamos precisar do vetor normal a P e da parametrização do círculo em um plano conveniente.

Passo 2

O vetor normal a P é dado pelos coeficientes de x,y,z. Logo
n = (1,\,-1,\,2).
Esse será o vetor de translação do círculo para gerar o cilindro.

Passo 3

Escolhemos parametrizar o círculo C no plano z=0, pois seu centro é a origem e raio é 3. Uma parametrização é
\mathbf c(u) = \bigl(3\cos u,\;3\sin u,\;0\bigr), \quad u\in[0,2\pi].

Passo 4

Para cada ponto \mathbf c(u) do círculo, traduzimos ao longo de n variando um parâmetro t\in\mathbb{R}. Assim a parametrização da superfície S é
\mathbf r(u,t) = \mathbf c(u) + t\,n = \bigl(3\cos u + t,\;3\sin u - t,\;2t\bigr),
com u\in[0,2\pi] e t\in\mathbb{R}.

Resposta

\mathbf r(u,t) = \bigl(3\cos u + t,\;3\sin u - t,\;2t\bigr), \quad u\in[0,2\pi],\;t\in\mathbb{R}.

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