Calcule a equação de um plano que contém os pontos P1=(1,2,3), P2=(4,5,6) e P3=(1,-1,2). O ponto P4=(1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede a equação de um plano que contenha os pontos P1=(1,2,3), P2=(4,5,6) e P3=(1,-1,2). Em seguida devemos analisar o ponto P4=(1,1,1) em relação a esse plano. Para isso vamos usar vetores diretores, produto vetorial para obter o vetor normal e a forma geral da equação de um plano.

Passo 2

Escolhemos P1 como ponto base e calculamos dois vetores que ligam P1 a P2 e a P3:
v = P1P2 = (4-1,;5-2,;6-3) = (3,3,3),
w = P1P3 = (1-1,;-1-2,;2-3) = (0,-3,-1)

Passo 3

O vetor normal n ao plano é dado pelo produto vetorial vtimesw:
n = i & j & k 3 & 3 & 3 0 & -3 & -1 = l(3cdot(-1)-3cdot(-3),;-(3cdot(-1)-3cdot0),;3cdot(-3)-3cdot0r) = (6,,3,,-9)
Podemos simplificar n dividindo por 3:
n = (2,,1,,-3)

Passo 4

A equação vetorial do plano é
ncdotl((x,y,z)-P1r)=0,
isto é,
(2,1,-3)cdotl((x-1),,(y-2),,(z-3)r)=0
Fazendo o produto escalar e reorganizando em forma geral:
2(x-1)+1(y-2)-3(z-3)=0
2x -2 + y -2 -3z +9 =0
2x + y -3z +5 =0

Passo 5

Para verificar se P4=(1,1,1) pertence ao plano, basta substituir na equação:
2cdot1 + 1 - 3cdot1 + 5 = 2 + 1 -3 +5 =5 neq 0
Como o resultado não é zero, P4 não está no plano.

Resposta

A equação do plano é
2x + y - 3z + 5 = 0
e o ponto P4=(1,1,1) não pertence a esse plano.

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