Calcule, por triangularização, os seguintes determinantes:
Passo 1
Beleza! Vamos resolver esse determinante usando triangularização. O que a gente precisa saber aqui é sobre determinantes e a técnica de triangularização de matrizes. Basicamente, vamos transformar a matriz dada em uma matriz triangular (onde os números abaixo da diagonal principal sejam zeros) e depois calcular o determinante multiplicando os elementos da diagonal principal.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz que queremos calcular o determinante:
3 & -2 & 4 -1 & 0 & 2 5 & 6 & 2
Passo 3
Vamos começar a triangularizar a matriz. O objetivo é criar zeros abaixo da diagonal principal.
Primeira coluna:
Queremos tornar os elementos abaixo de 3 (na primeira coluna) iguais a zero.
Linha 2: Vamos adicionar à Linha 2 a Linha 1 multiplicada por 13 para anular o -1.
Linha 2 = Linha 2 + (13) times Linha 1
Calculando:
-1 + (13 times 3) = -1 + 1 = 0
0 + (13 times -2) = 0 - 23 = -23
2 + (13 times 4) = 2 + 43 = 103
Então, a nova Linha 2 fica:
0 & -23 & 103
Linha 3: Vamos subtrair da Linha 3 a Linha 1 multiplicada por 53 para anular o 5.
Linha 3 = Linha 3 - (53) times Linha 1
Calculando:
5 - (53 times 3) = 5 - 5 = 0
6 - (53 times -2) = 6 + 103 = 283
2 - (53 times 4) = 2 - 203 = -143
Então, a nova Linha 3 fica:
0 & 283 & -143
Agora, nossa matriz está assim:
3 & -2 & 4 0 & -23 & 103 0 & 283 & -143
Passo 4
Agora, vamos trabalhar com a segunda coluna para criar zero abaixo do elemento -23.
Linha 3: Vamos adicionar à Linha 3 a Linha 2 multiplicada por 283 div -23 = -14 para anular o 283.
Linha 3 = Linha 3 + (-14) times Linha 2
Calculando:
0 + (-14) times 0 = 0
283 + (-14) times (-23) = 283 + 283 = 563
-143 + (-14) times 103 = -143 - 1403 = -1543
Parece que fizemos algo errado aqui. Na verdade, para anular 283, o fator correto seria -14.
Vamos recalcular:
Linha 3 = Linha 3 + 14 times Linha 2
Calculando:
0 + 14 times 0 = 0
283 + 14 times (-23) = 283 - 283 = 0
-143 + 14 times 103 = -143 + 1403 = 1263 = 42
Então, a nova Linha 3 fica:
0 & 0 & 42
Agora, nossa matriz triangularizada fica:
3 & -2 & 4 0 & -23 & 103 0 & 0 & 42
Passo 5
Agora que temos a matriz triangularizada, o determinante é simplesmente o produto dos elementos da diagonal principal.