Considere a connica
C: 5 x^2+2 x y+5 y^2+10 raiz2 x+2 raiz2 y+8=0
(b) Fazendo as mudanças adequadas de sistemas de coordenadas, encontre uma equação reduzida para C.

Passo 1

O enunciado nos dá a cônica
C:;5x^2+2xy+5y^2+10raiz2,x+2raiz2,y+8=0
e pede sua forma reduzida via mudança de variáveis. Aqui vamos usar duas etapas clássicas de cônicas: (i) rotação para eliminar o termo misto xy e (ii) translação para levar o centro à origem.

Passo 2

Para eliminar o termo misto escolhemos um ângulo theta tal que
tan2theta = BA-C = 25-5 = infty Longrightarrow 2theta = pi2 Longrightarrow theta = pi4
Fazemos então a rotação
x = X - Yraiz2, y = X + Yraiz2

Passo 3

Substituindo na equação original e usando as fórmulas de transformação de coeficientes de cônicas sob rotação, chega-se a
6X^2 + 4Y^2 + 12X - 8Y + 8 = 0

Passo 4

Agora completamos quadrados para centralizar:
6l(X^2+2Xr)+4l(Y^2-2Yr)+8=0 ;Longrightarrow; 6l((X+1)^2-1r)+4l((Y-1)^2-1r)+8=0
Longrightarrow;6(X+1)^2+4(Y-1)^2-2=0 ;Longrightarrow; 3(X+1)^2+2(Y-1)^2=1
Definindo
U = X+1, V = Y-1,
obtemos a forma padrão.

Resposta

Em coordenadas (U,V) a equação reduzida da cônica C é
3,U^2 + 2,V^2 = 1

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