( 1,0 pt ) Calcule a equação do plano tangente ao gráfico z=1-x^2-y^2 no ponto (0,1,0). (Também faça, em uma mesma figura, o desenho do gráfico e deste plano tangente.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a equação do plano tangente ao gráfico da função z = 1 - x^2 - y^2 no ponto (0, 1, 0) . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente o cálculo de derivadas parciais para encontrar o plano tangente.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar as derivadas parciais da função z = 1 - x^2 - y^2 em relação a x e y . Essas derivadas nos ajudam a entender como a função se comporta perto do ponto dado.
A derivada parcial em relação a x é:
fx = partial zpartial x = -2x
E a derivada parcial em relação a y é:
fy = partial zpartial y = -2y

Passo 3

Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto (0, 1, 0) :
fx(0, 1) = -2(0) = 0
fy(0, 1) = -2(1) = -2

Passo 4

Com as derivadas parciais calculadas, podemos montar a equação do plano tangente usando a fórmula:
z - z0 = fx(x0, y0)(x - x0) + fy(x0, y0)(y - y0)
Substituindo os valores:
z - 0 = 0(x - 0) + (-2)(y - 1)
Simplificando:
z = -2y + 2

Resposta

A equação do plano tangente é z = -2y + 2 .

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