(2,5 pts) Considere a integral dupla integral duplaD y e^x d A, onde D é o triângulo com vértices (0,0),(2,0) e (2,1).
(a) Expresse a integral dupla como integral iterada, de duas formas distintas.
(b) Calcule o valor da integral dupla.

Passo 1

O enunciado pede que a gente expresse a integral dupla
integral duplaD y e^x,dA,
onde D é o triângulo com vértices (0,0), (2,0) e (2,1), como duas integrais iteradas diferentes e depois calcule esse valor.
O conteúdo envolve descrição de regiões no plano e cálculo de integrais iteradas em ordens distintas, além de usar técnicas de integração (integração por partes).

Passo 2

Para descrever D fixando x, observamos que a reta que liga (0,0) a (2,1) tem equação y=tfrac12 x, logo
0<= x<=2 e 0<= y<=tfracx2.
Para descrever D fixando y, notamos que 0<= y<=1 e que a mesma reta dá x=2y, então
0<= y<=1 e 2y<= x<=2.

Passo 3

A partir dessas descrições, obtemos as duas integrais iteradas:
integral0^2integral0^x2 y e^x,dy,dx
e
integral0^1integral2y^2 y e^x,dx,dy

Passo 4

Vamos usar a primeira forma e calcular
integral0^2l(integral0^x2 y e^x,dyr)dx
Como e^x é constante em relação a y,
integral0^x2 y e^x,dy = e^xintegral0^x2y,dy = e^xcdot12!l(x2r)^2 = x^28e^x
Logo a integral original vira
integral0^2x^28e^x,dx = 18integral0^2x^2e^x,dx

Passo 5

Para calcular integral0^2x^2e^x,dx, usamos integração por partes duas vezes ou lembramos da fórmula
integral x^2e^x,dx = e^x(x^2-2x+2)+C
Assim
integral0^2x^2e^x,dx =l[e^x(x^2-2x+2)r]0^2 = e^2(4-4+2)-1cdot2 = 2e^2-2
Portanto
18integral0^2x^2e^x,dx = 2e^2-28 = e^2-14

Resposta

(a)
integral0^2integral0^x2 y e^x,dy,dx e integral0^1integral2y^2 y e^x,dx,dy
(b)
e^2-14

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