(2,5 pts) Considere a integral dupla
, onde
é o triângulo com vértices
e
.
(a) Expresse a integral dupla como integral iterada, de duas formas distintas.
(b) Calcule o valor da integral dupla.
(a) Expresse a integral dupla como integral iterada, de duas formas distintas.
(b) Calcule o valor da integral dupla.
Passo 1
O enunciado pede que a gente expresse a integral dupla
,
onde é o triângulo com vértices
,
e
, como duas integrais iteradas diferentes e depois calcule esse valor.
O conteúdo envolve descrição de regiões no plano e cálculo de integrais iteradas em ordens distintas, além de usar técnicas de integração (integração por partes).
onde
O conteúdo envolve descrição de regiões no plano e cálculo de integrais iteradas em ordens distintas, além de usar técnicas de integração (integração por partes).
Passo 2
Para descrever
fixando
, observamos que a reta que liga
a
tem equação
, logo
e
.
Para descrever fixando
, notamos que
e que a mesma reta dá
, então
e
.
Para descrever
Passo 3
A partir dessas descrições, obtemos as duas integrais iteradas:
e
Passo 4
Vamos usar a primeira forma e calcular
Como
é constante em relação a
,
Logo a integral original vira
Passo 5
Para calcular
, usamos integração por partes duas vezes ou lembramos da fórmula
Assim
Portanto
Resposta
(a)
(b)