(1,5 pts) A temperatura no ponto (x, y) de uma chapa é dada por f(x, y)=e^yx^2+y^2.
(a) Determine o vetor v tal que, partindo do ponto P=(1,0) na direção v, a temperatura cresça mais rapidamente.
(b) Calcule a taxa de variação de temperatura no ponto P=(1,0) na direção P Q, onde Q=(2,3).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que dá a temperatura numa chapa: f(x, y) = e^yx^2 + y^2 . Precisamos responder duas perguntas:
a) Encontrar o vetor que, partindo do ponto P = (1, 0) , faz a temperatura aumentar da forma mais rápida possível.
b) Calcular como a temperatura está mudando no ponto P = (1, 0) na direção do ponto Q = (2, 3) .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Primeiro, vamos para a parte (a). Queremos saber em qual direção a temperatura aumenta mais rápido a partir de P = (1, 0) . Isso está diretamente relacionado ao gradiente da função f .
O gradiente de uma função f(x, y) é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Ele é dado por:
nabla f = ( partial fpartial x, partial fpartial y )
Então, vamos calcular as derivadas parciais de f em relação a x e y .

Passo 3

Calculando as derivadas parciais:
partial fpartial x = partialpartial x ( e^yx^2 + y^2 ) = -2x e^y(x^2 + y^2)^2
partial fpartial y = partialpartial y ( e^yx^2 + y^2 ) = e^y(x^2 + y^2) - e^y(2y)(x^2 + y^2)^2 = e^y(x^2 + y^2 - 2y)(x^2 + y^2)^2

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto P = (1, 0) :
nabla f(1, 0) = ( -2(1) e^0(1^2 + 0^2)^2, e^0(1^2 + 0^2 - 2(0))(1^2 + 0^2)^2 ) = ( -2, 1 )
Esse vetor nabla f(1, 0) = (-2, 1) é a direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente a partir de P .

Passo 5

Agora, vamos para a parte (b). Queremos a taxa de variação da temperatura no ponto P = (1, 0) na direção do ponto Q = (2, 3) .
Primeiro, vamos encontrar o vetor que vai de P para Q :
PQ = Q - P = (2 - 1, 3 - 0) = (1, 3)
Para calcular a derivada direcional, precisamos normalizar esse vetor:
u = PQ|PQ| = (1, 3)raiz1^2 + 3^2 = ( 1raiz10, 3raiz10 )

Passo 6

A derivada direcional de f na direção de u é dada pelo produto do gradiente de f no ponto P com o vetor u :
Du f(1, 0) = nabla f(1, 0) cdot u = (-2, 1) cdot ( 1raiz10, 3raiz10 ) = -2 times 1 + 1 times 3raiz10 = 1raiz10

Resposta

a) O vetor v na direção do aumento mais rápido da temperatura a partir de P = (1, 0) é v = (-2, 1) .
b) A taxa de variação da temperatura no ponto P = (1, 0) na direção de Q = (2, 3) é 1raiz10 .

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