A temperatura no ponto de uma chapa é dada por .
(a) Determine o vetor tal que, partindo do ponto na direção , a temperatura cresça mais rapidamente.
(b) Calcule a taxa de variação de temperatura no ponto na direção , onde .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função que dá a temperatura numa chapa: . Precisamos responder duas perguntas:
a) Encontrar o vetor que, partindo do ponto , faz a temperatura aumentar da forma mais rápida possível.
b) Calcular como a temperatura está mudando no ponto na direção do ponto .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente gradiente e derivada direcional.
Passo 2
Primeiro, vamos para a parte (a). Queremos saber em qual direção a temperatura aumenta mais rápido a partir de . Isso está diretamente relacionado ao gradiente da função .
O gradiente de uma função é um vetor que aponta na direção de maior aumento da função. Ele é dado por:
Então, vamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
Passo 3
Calculando as derivadas parciais:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :
Esse vetor é a direção em que a temperatura aumenta mais rapidamente a partir de .
Passo 5
Agora, vamos para a parte (b). Queremos a taxa de variação da temperatura no ponto na direção do ponto .
Primeiro, vamos encontrar o vetor que vai de para :
Para calcular a derivada direcional, precisamos normalizar esse vetor: