( 2,0 pts ) Considere o cilindro sólido de altura 1 cuja base é o disco no plano x y de raio 1 centrado na origem. Seja E a porção deste cilindro sólido situada no primeiro octante. Calcule o valor de integral triplaE x z d V.

Passo 1

O enunciado descreve um cilindro sólido de altura 1 com base o disco x^2+y^2<=1 no plano xy, e E é a parte desse cilindro no primeiro octante. Pede-se calcular
integral triplaEx,z,dV
O conteúdo principal é integral tripla e mudança para coordenadas cilíndricas, onde precisaremos do jacobiano e dos limites de integração.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x = rcostheta, y = rsintheta, z = z,
e o elemento de volume
dV = r,dr,dtheta,dz

Passo 3

Como E está no primeiro octante, os limites são
0 <= r <= 1, 0 <= theta <= tfracpi2, 0 <= z <= 1
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integral triplaEx,z,dV =integralz=0^1integraltheta=0^pi/2integralr=0^1(rcostheta),z;r,dr,dtheta,dz

Passo 4

Separe em fatores independentes:
integral0^1z,dz;cdot;integral0^pi/2costheta,dtheta;cdot;integral0^1r^2,dr =l[tfracz^22r]0^1cdot[sintheta]0^pi/2cdotl[tfracr^33r]0^1 =tfrac12cdot1cdottfrac13 =tfrac16

Resposta

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