( 1,0 pt ) Para um mol de um certo gás ideal, vale a equação P V=k T. Se a pressão é aumentada com taxa de variação alpha e a temperatura é aumentada com taxa de variação beta, determine a taxa de variação do volume quando a pressão é P0 e a temperatura é T0.

Passo 1

O enunciado dá a equação de estado de um mol de gás ideal
P,V = k,T
onde P, V e T variam com o tempo t. Sabe-se que
dfracdPdt=alpha e dfracdTdt=beta,
e pede-se dfracdVdt no instante em que P=P0 e T=T0.
O conteúdo principal é derivação implícita em relação ao tempo.

Passo 2

Derivamos ambos os lados de
P,V = k,T
em relação a t. Como k é constante, temos
ddtl(P,Vr) = ddtl(k,Tr) Longrightarrow P,dVdt + V,dPdt = k,dTdt

Passo 3

Isolamos dfracdVdt:
P,dVdt = k,dTdt - V,dPdt ;Longrightarrow; dVdt = k,dTdt - V,dPdtP

Passo 4

No instante pedido, dfracdPdt=alpha, dfracdTdt=beta, P=P0 e T=T0. Além disso o volume correspondente é
V0 = k,T0P0
Substituindo,
dVdtl|P0,T0 = k,beta - V0,alphaP0

Passo 5

Substituindo V0=tfrack,T0P0 na expressão acima,
dVdtl|P0,T0 = k,betaP0 - l(k,T0/P0r),alphaP0 = k,betaP0 - k,T0,alphaP0^2
Em alternativa, escrevendo em termos de V0:
dVdtl|P0,T0 = V0l(betaT0 - alphaP0r)

Resposta

dVdtl|P0,T0 = k,betaP0 - k,T0,alphaP0^2 l(ou;;V0l(tfracbetaT0-tfracalphaP0r)r)

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