Calcule a equação em relação e para que sistema de equações linear a baixo seja SI
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações lineares com três variáveis: x , y e z . O objetivo é encontrar uma relação entre os termos b1 , b2 e b3 que faça esse sistema ser um Sistema Independente, ou seja, que tenha uma solução única. Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como resolução de sistemas e condições para existência de soluções únicas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações que você forneceu:
c x + y + 3z = b1 2x + 2y - z = b2 4x + 4y + 5z = b3
Nosso objetivo é descobrir como b1 , b2 e b3 devem se relacionar para que esse sistema tenha uma única solução.
Passo 3
Para que o sistema tenha uma solução única, a matriz dos coeficientes (que está na frente das variáveis x , y , z ) precisa ser não singular, ou seja, seu determinante não pode ser zero. Vamos montar essa matriz e calcular seu determinante.
A matriz dos coeficientes é:
1 & 1 & 3 2 & 2 & -1 4 & 4 & 5
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz:
Det = 1 times (2 times 5 - (-1) times 4) - 1 times (2 times 5 - (-1) times 4) + 3 times (2 times 4 - 2 times 4)
Simplificando:
Det = 1 times (10 + 4) - 1 times (10 + 4) + 3 times (8 - 8) = 14 - 14 + 0 = 0
Passo 4
O determinante deu zero, o que significa que a matriz dos coeficientes é singular. Isso indica que, para existir uma solução, os termos constantes b1 , b2 e b3 precisam obedecer a uma certa condição. Caso contrário, o sistema não terá solução ou terá infinitas soluções.
Passo 5
Vamos agora encontrar essa condição. Para que o sistema seja consistente (ou seja, tenha pelo menos uma solução), os termos constantes devem satisfazer uma relação específica. Vamos resolver as equações para encontrar essa relação.
Vamos expressar z da segunda equação:
2x + 2y - z = b2 Rightarrow z = 2x + 2y - b2
Substituindo essa expressão de z na primeira equação:
x + y + 3(2x + 2y - b2) = b1 Rightarrow x + y + 6x + 6y - 3b2 = b1
7x + 7y - 3b2 = b1 Rightarrow 7(x + y) = b1 + 3b2
x + y = b1 + 3b27
Agora, substituímos x + y na terceira equação:
4x + 4y + 5z = b3 Rightarrow 4(x + y) + 5z = b3
4(b1 + 3b27) + 5(2x + 2y - b2) = b3
4b1 + 12b27 + 10x + 10y - 5b2 = b3
Substituindo x + y novamente:
4b1 + 12b27 + 10(b1 + 3b27) - 5b2 = b3
4b1 + 12b2 + 10b1 + 30b27 - 5b2 = b3
14b1 + 42b27 - 5b2 = b3
2b1 + 6b2 - 5b2 = b3
2b1 + b2 = b3
Resposta
A condição para que o sistema seja um Sistema Independente é: