Determine as coordenadas de todos os vértices, do segundo foco, exiba as equações das retas onde encontram-se o eixo maior e o eixo menor, especificando explicitamente qual contém cada um deles.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar as coordenadas de todos os vértices, do segundo foco e também as equações das retas onde estão o eixo maior e o eixo menor de uma cônica. Parece que estamos lidando com uma elipse ou uma hipérbole! Para resolver isso, vamos precisar lembrar das definições básicas dessas figuras, suas propriedades e as fórmulas que nos ajudam a encontrar vértices, focos e eixos.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar qual cônica estamos trabalhando. Supondo que seja uma elipse, porque o termo “eixo maior” e “eixo menor” são mais comuns nesse contexto. Se for uma hipérbole, o processo é parecido, mas com algumas diferenças.
Vamos assumir que a equação da elipse está na forma padrão:
Aqui,
é o centro da elipse,
é o semi-eixo maior e
é o semi-eixo menor.
Passo 3
Encontrando os vértices:
Os vértices são os pontos mais afastados e mais próximos do centro ao longo do eixo maior. Eles estão localizados a uma distância
do centro nas direções positiva e negativa do eixo maior.
Então, as coordenadas dos vértices são:
Passo 4
Encontrando os focos:
Os focos estão localizados a uma distância
do centro ao longo do eixo maior, onde
é dado por:
As coordenadas dos focos são:
O “segundo foco” mencionado no problema seria
, assumindo que
é o primeiro.
Passo 5
Equações das retas dos eixos:
-
Eixo Maior: É a reta que passa pelos dois vértices e os focos. Sua equação é uma linha horizontal se o eixo maior for paralelo ao eixo
ou vertical se for paralelo ao eixo . Supondo que o eixo maior seja horizontal, a equação é:
-
Eixo Menor: É a reta perpendicular ao eixo maior e passa pelo centro. Sua equação também será vertical ou horizontal, conforme a orientação do eixo maior.Novamente, se o eixo maior for horizontal, o eixo menor será vertical, então a equação é:
Resposta
As coordenadas dos vértices são
e
. O segundo foco está em
, onde
. A equação do eixo maior é
e a equação do eixo menor é
.