Determine as coordenadas de todos os vértices, do segundo foco, exiba as equações das retas onde encontram-se o eixo maior e o eixo menor, especificando explicitamente qual contém cada um deles.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para encontrar as coordenadas de todos os vértices, do segundo foco e também as equações das retas onde estão o eixo maior e o eixo menor de uma cônica. Parece que estamos lidando com uma elipse ou uma hipérbole! Para resolver isso, vamos precisar lembrar das definições básicas dessas figuras, suas propriedades e as fórmulas que nos ajudam a encontrar vértices, focos e eixos.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar qual cônica estamos trabalhando. Supondo que seja uma elipse, porque o termo “eixo maior” e “eixo menor” são mais comuns nesse contexto. Se for uma hipérbole, o processo é parecido, mas com algumas diferenças.
Vamos assumir que a equação da elipse está na forma padrão:
(x - h)^2a^2 + (y - k)^2b^2 = 1
Aqui, (h, k) é o centro da elipse, a é o semi-eixo maior e b é o semi-eixo menor.

Passo 3

Encontrando os vértices:
Os vértices são os pontos mais afastados e mais próximos do centro ao longo do eixo maior. Eles estão localizados a uma distância a do centro nas direções positiva e negativa do eixo maior.
Então, as coordenadas dos vértices são:
(h + a, k) e (h - a, k)

Passo 4

Encontrando os focos:
Os focos estão localizados a uma distância c do centro ao longo do eixo maior, onde c é dado por:
c = raiza^2 - b^2
As coordenadas dos focos são:
(h + c, k) e (h - c, k)
O “segundo foco” mencionado no problema seria (h - c, k), assumindo que (h + c, k) é o primeiro.

Passo 5

Equações das retas dos eixos:
  • Eixo Maior: É a reta que passa pelos dois vértices e os focos. Sua equação é uma linha horizontal se o eixo maior for paralelo ao eixo x ou vertical se for paralelo ao eixo y.
    Supondo que o eixo maior seja horizontal, a equação é:
y = k
  • Eixo Menor: É a reta perpendicular ao eixo maior e passa pelo centro. Sua equação também será vertical ou horizontal, conforme a orientação do eixo maior.
    Novamente, se o eixo maior for horizontal, o eixo menor será vertical, então a equação é:
x = h

Resposta

As coordenadas dos vértices são (h + a, k) e (h - a, k). O segundo foco está em (h - c, k), onde c = raiza^2 - b^2. A equação do eixo maior é y = k e a equação do eixo menor é x = h.

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