Verifique quais das transformações abaixo são lineares.
T: R^2 R^2, T(x, y)=(0,2 x-y).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para verificar se a transformação T: R^2 R^2, T(x, y)=(0, 2x - y) é linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve cumprir.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação T é linear se, para quaisquer vetores u e v e qualquer escalar c , as seguintes duas condições forem satisfeitas:
  1. Adição: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Homogeneidade: T(cu) = cT(u)
Além disso, uma transformação linear sempre envia o vetor zero para o vetor zero, ou seja, T(0) = 0 .

Passo 3

Vamos verificar se a transformação dada T(x, y) = (0, 2x - y) satisfaz essas duas condições.
1. Verificando a adição:
Sejam dois vetores u = (x1, y1) e v = (x2, y2) .
Então,
T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (0, 2(x1 + x2) - (y1 + y2)) = (0, 2x1 + 2x2 - y1 - y2)
Por outro lado,
T(u) + T(v) = (0, 2x1 - y1) + (0, 2x2 - y2) = (0 + 0, (2x1 - y1) + (2x2 - y2)) = (0, 2x1 + 2x2 - y1 - y2)
Como T(u + v) = T(u) + T(v) , a primeira condição é satisfeita.
2. Verificando a homogeneidade:
Seja c um escalar e u = (x, y) .
Então,
T(cu) = T(cx, cy) = (0, 2(cx) - cy) = (0, 2c x - c y) = c(0, 2x - y) = cT(u)
Assim, T(cu) = cT(u) , satisfazendo a segunda condição.

Passo 4

Além disso, podemos verificar diretamente que T(0) = T(0, 0) = (0, 2*0 - 0) = (0, 0) , confirmando que o vetor zero é mapeado para o vetor zero.

Passo 5

Como a transformação T satisfaz as condições de adição e homogeneidade, podemos concluir que ela é linear.

Resposta

A transformação T(x, y) = (0, 2x - y) é linear.

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