Verifique quais das transformações abaixo são lineares.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! O enunciado pede para verificar se a transformação
é linear. Para isso, vamos precisar entender o que é uma transformação linear e quais propriedades ela deve cumprir.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para quaisquer vetores
e
e qualquer escalar
, as seguintes duas condições forem satisfeitas:
- Adição:
- Homogeneidade:
Além disso, uma transformação linear sempre envia o vetor zero para o vetor zero, ou seja,
.
Passo 3
Vamos verificar se a transformação dada
satisfaz essas duas condições.
1. Verificando a adição:
Sejam dois vetores e
.
Então,
Sejam dois vetores
Então,
Por outro lado,
Como
, a primeira condição é satisfeita.
2. Verificando a homogeneidade:
Seja um escalar e
.
Então,
Seja
Então,
Assim,
, satisfazendo a segunda condição.
Passo 4
Além disso, podemos verificar diretamente que
, confirmando que o vetor zero é mapeado para o vetor zero.
Passo 5
Como a transformação
satisfaz as condições de adição e homogeneidade, podemos concluir que ela é linear.
Resposta
A transformação
é linear.