Há duas retas tangentes à elipse x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1 que são paralelas à reta y=-x; calcule as equações destas retas. Faça uma figura ilustrando a elipse e estas retas.

Passo 1

O enunciado pede as retas tangentes à elipse
x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1
que sejam paralelas à reta y=-x. Isso significa que o coeficiente angular dessas tangentes deve ser -1. Vamos usar geometria diferencial (derivada) ou condição de tangência (discriminante zero) para encontrar as equações dessas retas.

Passo 2

Usando derivada implícita, a elipse
x^{2} + \frac{y^{2}}{4} = 1
gera
2x + \frac{y}{2}\,\frac{dy}{dx} = 0
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\frac{dy}{dx} = -\frac{4x}{y}.
Queremos \frac{dy}{dx}=-1, ou seja
-\frac{4x}{y} = -1 \quad\Longrightarrow\quad y = 4x.

Passo 3

Substituindo y=4x na elipse, temos
x^{2} + \frac{(4x)^{2}}{4} = 1 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} + 4x^{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad 5x^{2} = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}.
Então os pontos de tangência são
\Bigl(\tfrac{1}{\sqrt{5}},\,\tfrac{4}{\sqrt{5}}\Bigr) \quad\text{e}\quad \Bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{5}},\,-\tfrac{4}{\sqrt{5}}\Bigr).

Passo 4

A reta de coeficiente angular -1 que passa por \bigl(x_{0},y_{0}\bigr) tem equação
y - y_{0} = -1\,(x - x_{0}) \;\Longrightarrow\; y = -x + (x_{0}+y_{0}).
No primeiro ponto x_{0}+y_{0} = \tfrac{1}{\sqrt{5}} + \tfrac{4}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}.
No segundo ponto x_{0}+y_{0} = -\tfrac{1}{\sqrt{5}} - \tfrac{4}{\sqrt{5}} = -\sqrt{5}.

Passo 5

Portanto as duas retas são
y = -x + \sqrt{5} \quad\text{e}\quad y = -x - \sqrt{5}.

Passo 6

Segue um esboço ASCII ilustrativo (eixo x horizontal, eixo y vertical):
y
    \uparrow  
  \(3\) |           \\
    |            \\
  \(2\) |      .–––––*     \leftarrow\ reta \(y=-x+\sqrt{5}\)  
    |     /       \\
  \(1\) |    /         \\
    |   /           \\
\(0 +\)–\(\cdot\)–\(+\)–\(\cdot\)–\(+\)–\(\cdot\)–\(+\)–\(\cdot\)–\(\to x\)  
    |\             \\
 –\(1\) | \\\            \\
    |  \\\            \\
 –\(2\) |   *–––––.      \leftarrow\ reta \(y=-x-\sqrt{5}\)  
    |    \\\       /  
 –\(3\) |     \\\     /  
A elipse x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=1 está centrada na origem, com semieixos 1 e 2, e é tangente às duas retas desenhadas.

Resposta

y = -x + \sqrt{5} \quad\text{e}\quad y = -x - \sqrt{5}.

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