Há duas retas tangentes à elipse
que são paralelas à reta
; calcule as equações destas retas. Faça uma figura ilustrando a elipse e estas retas.
Passo 1
O enunciado pede as retas tangentes à elipse
que sejam paralelas à reta
. Isso significa que o coeficiente angular dessas tangentes deve ser
. Vamos usar geometria diferencial (derivada) ou condição de tangência (discriminante zero) para encontrar as equações dessas retas.
Passo 2
Usando derivada implícita, a elipse
gera
logo
Queremos
, ou seja
Passo 3
Substituindo
na elipse, temos
Então os pontos de tangência são
Passo 4
A reta de coeficiente angular
que passa por
tem equação
No primeiro ponto
.
No segundo ponto .
No segundo ponto
Passo 5
Portanto as duas retas são
Passo 6
Segue um esboço ASCII ilustrativo (eixo
horizontal, eixo
vertical):
\uparrow
\(3\) | \\
| \\
\(2\) | .–––––* \leftarrow\ reta \(y=-x+\sqrt{5}\)
| / \\
\(1\) | / \\
| / \\
\(0 +\)–\(\cdot\)–\(+\)–\(\cdot\)–\(+\)–\(\cdot\)–\(+\)–\(\cdot\)–\(\to x\)
|\ \\
–\(1\) | \\\ \\
| \\\ \\
–\(2\) | *–––––. \leftarrow\ reta \(y=-x-\sqrt{5}\)
| \\\ /
–\(3\) | \\\ /
A elipse
está centrada na origem, com semieixos
e
, e é tangente às duas retas desenhadas.