Calcule o(s) ponto(s) do gráfico y=x e^1 / x onde a reta tangente é horizontal.

Passo 1

Temos a função ;y = x e^1/x definida para xneq0. Queremos encontrar os pontos onde a reta tangente é horizontal, isto é, onde ;y'=0. Para isso vamos usar a regra do produto e a regra da cadeia para derivar.

Passo 2

Aplicando a regra do produto e a cadeia, escrevemos
y' = (x)' ,e^1/x + x,(e^1/x)'
Como (x)' = 1 e
(e^1/x)' = e^1/x,l(tfrac1xr)' = e^1/x,l(-tfrac1x^2r),
temos
y' = e^1/x + xl(e^1/xcdot(-tfrac1x^2)r) = e^1/xl(1 - tfrac1xr)

Passo 3

Para que a reta tangente seja horizontal, impõe-se y'=0. Como e^1/xneq0 para todo xneq0, basta resolver
1 - tfrac1x = 0 Longrightarrow tfrac1x = 1 Longrightarrow x = 1

Passo 4

Substituindo x=1 na função original,
y = 1cdot e^1/1 = e
Portanto o ponto pedido é (1,e).

Resposta

(1,e)

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