Calcule uma equação da reta tangente L^t(x0) e uma equação da reta normal L^n(x0), ao gráfico da função f(x) dada, no ponto x0 indicado.
f(x)=cos x, x0=pi / 4.

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente L^t(x0) e a reta normal L^n(x0) ao gráfico de f(x)=cos x no ponto x0=pi/4. Para isso vamos usar cálculo de derivada para achar o coeficiente angular da tangente e, em seguida, a fórmula ponto-inclinação para montar as duas retas.

Passo 2

Primeiro calculamos
f'(x) = -sin x
Em x0=pi/4 temos
f'l(tfracpi4r) = -sinl(tfracpi4r) = -raiz22,
e o ponto do gráfico é
l(x0,,f(x0)r) = l(tfracpi4,,cosl(tfracpi4r)r) = l(tfracpi4,,tfracraiz22r)

Passo 3

A reta tangente usa o coeficiente angular mt=f'(pi/4)=-tfracraiz22 e a fórmula ponto-inclinação
y - y0 = mt,(x - x0)
Substituindo, obtemos
y - raiz22 = -raiz22,l(x - pi4r)

Passo 4

A reta normal é perpendicular à tangente, então seu coeficiente angular é
mn = -1mt = -1-tfracraiz22 = raiz2
Usando novamente ponto-inclinação com mn, temos
y - raiz22 = raiz2,l(x - pi4r)

Resposta

Reta tangente:
y - raiz22 = -raiz22,l(x - pi4r)
Reta normal:
y - raiz22 = raiz2,l(x - pi4r)

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