Seja f(x)=3 x^5+5 x^3+7 x, x in R.
(a) Mostre que f é inversível e sobrejetora.
(b) Calcule f^-1 cm termos de f.
(c) Sc g: R R é a inversa de f, mostre que |g(x)-g(y)| <= 17|x-y| para quaisquer x, y in R.

Passo 1

O enunciado define
fcolon RtoR, f(x)=3x^5+5x^3+7x
e pede:
(a) mostrar que f é bijetora (injetora e sobrejetora);
(b) obter a derivada de f^-1 em função de f;
(c) com g=f^-1, provar que
|g(x)-g(y)|<=17,l|x-yr|,
Vamos usar teoria de funções estritamente monótonas, regra da derivada da inversa e o Teorema do Valor Médio.

Passo 2

Para injetividade e monotonia calculamos
f'(x)=15x^4+15x^2+7
Note que para todo xinR temos
15x^4>=0,15x^2>=0,7>0 Longrightarrow f'(x)>0
Como f' é sempre positiva, f é estritamente crescente em R, logo é injetora.
Para sobrejetividade observamos que, por ser polinômio de grau ímpar com termo principal 3x^5,
limxto+inftyf(x)=+infty, limxto-inftyf(x)=-infty
Uma função contínua que vai a pminfty em extremos opostos do domínio atinge todos os valores reais. Portanto f é sobrejetora.

Passo 3

Seja g=f^-1. Pela regra da derivada da inversa, para y=f(x) vale
g'(y)=l(f^-1r)'(y) =1f'(x)
Como x=g(y), podemos escrever
l(f^-1r)'(y) =115,[g(y)]^4+15,[g(y)]^2+7

Passo 4

Para x,yinR, o Teorema do Valor Médio garante um c entre x e y tal que
g(x)-g(y)=g'(xi),l(x-yr)
para algum xi entre x e y. Como no passo 2 vimos que
f'(t)=15t^4+15t^2+7>=7forall t,
temos
g'(xi)=1f'l(g(xi)r) <=17
Tomando valor absoluto,
l|g(x)-g(y)r| =l|g'(xi)r|;l|x-yr| <=17,l|x-yr|

Resposta

(a) f é estritamente crescente ( f'(x)>0) e limxtopminftyf(x)=pminfty, logo é bijetora.
(b) l(f^-1r)'(y)=1f'l(f^-1(y)r)=115,[f^-1(y)]^4+15,[f^-1(y)]^2+7
(c) Para g=f^-1 vale |g(x)-g(y)|<=17|x-y|.

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