Seja .
(a) Mostre que é inversível e sobrejetora.
(b) Calcule termos de .
(c) Sc é a inversa de , mostre que para quaisquer .
Passo 1
O enunciado define
e pede:
(a) mostrar que é bijetora (injetora e sobrejetora);
(b) obter a derivada de em função de ;
(c) com , provar que
Vamos usar teoria de funções estritamente monótonas, regra da derivada da inversa e o Teorema do Valor Médio.
Passo 2
Para injetividade e monotonia calculamos
f'(x)=15x^4+15x^2+7
Note que para todo xinR temos
15x^4>=0,15x^2>=0,7>0 Longrightarrow f'(x)>0
Como f' é sempre positiva, f é estritamente crescente em R, logo é injetora.
Para sobrejetividade observamos que, por ser polinômio de grau ímpar com termo principal 3x^5,
limxto+inftyf(x)=+infty, limxto-inftyf(x)=-infty
Uma função contínua que vai a pminfty em extremos opostos do domínio atinge todos os valores reais. Portanto f é sobrejetora.
Passo 3
Seja g=f^-1. Pela regra da derivada da inversa, para y=f(x) vale
g'(y)=l(f^-1r)'(y) =1f'(x)
Como x=g(y), podemos escrever
l(f^-1r)'(y) =115,[g(y)]^4+15,[g(y)]^2+7
Passo 4
Para x,yinR, o Teorema do Valor Médio garante um c entre x e y tal que
g(x)-g(y)=g'(xi),l(x-yr)
para algum xi entre x e y. Como no passo 2 vimos que
f'(t)=15t^4+15t^2+7>=7forall t,
temos
g'(xi)=1f'l(g(xi)r) <=17
Tomando valor absoluto,
l|g(x)-g(y)r| =l|g'(xi)r|;l|x-yr| <=17,l|x-yr|
Resposta
(a) f é estritamente crescente (f'(x)>0) e limxtopminftyf(x)=pminfty, logo é bijetora.
(b) l(f^-1r)'(y)=1f'l(f^-1(y)r)=115,[f^-1(y)]^4+15,[f^-1(y)]^2+7
(c) Para g=f^-1 vale |g(x)-g(y)|<=17|x-y|.