(4, 0 pontos) Calcule as seguintes integrais
\int x^{2} \sqrt{x^{2}-9} d x

Passo 1

No enunciado temos a integral
\int x^{2}\sqrt{x^{2}-9}\,dx
O conteúdo é integração de funções da forma \sqrt{x^{2}-a^{2}}, para as quais usamos substituição trigonométrica. Vamos usar x=3\operatorname{sec}\theta para simplificar a raiz.

Passo 2

Fazendo a substituição
x = 3\operatorname{sec}\theta, \quad dx = 3\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta, \quad \sqrt{x^{2}-9} = \sqrt{9\operatorname{sec}^{2}\theta-9}=3\tan\theta
o integrando torna-se
x^{2}\sqrt{x^{2}-9}\,dx = (9\operatorname{sec}^{2}\theta)(3\tan\theta)\bigl(3\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta\bigr) =81\,\operatorname{sec}^{3}\theta\,\tan^{2}\theta\,d\theta.

Passo 3

Usando \tan^{2}\theta=\operatorname{sec}^{2}\theta-1, a integral vira
\int 81\,\operatorname{sec}^{3}\theta\,\tan^{2}\theta\,d\theta =81\int\bigl(\operatorname{sec}^{5}\theta-\operatorname{sec}^{3}\theta\bigr)\,d\theta.

Passo 4

Aplicamos fórmulas de redução:
\int\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta =\frac12\operatorname{sec}\theta\tan\theta+\frac12\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|+C
\int\operatorname{sec}^{5}\theta\,d\theta =\frac1{4}\operatorname{sec}^{3}\theta\tan\theta+\frac34\int\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta.
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\int\bigl(\operatorname{sec}^{5}\theta-\operatorname{sec}^{3}\theta\bigr)\,d\theta =\frac14\operatorname{sec}^{3}\theta\tan\theta-\frac14\int\operatorname{sec}^{3}\theta\,d\theta
=\frac14\operatorname{sec}^{3}\theta\tan\theta -\frac18\operatorname{sec}\theta\tan\theta -\frac18\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|+C.
Multiplicando por 81
\frac{81}{4}\operatorname{sec}^{3}\theta\tan\theta -\frac{81}{8}\operatorname{sec}\theta\tan\theta -\frac{81}{8}\ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr|+C.

Passo 5

Voltando a variável x:
\operatorname{sec}\theta=\frac{x}{3}, \quad \tan\theta=\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{3}, \quad \ln\bigl|\operatorname{sec}\theta+\tan\theta\bigr| =\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}-9}\bigr|+{\rm const}.
Substituindo, obtemos
\frac{81}{4}\frac{x^{3}}{27}\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{3} -\frac{81}{8}\frac{x}{3}\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{3} -\frac{81}{8}\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}-9}\bigr|+C
que simplifica para
\frac{x^{3}}{4}\sqrt{x^{2}-9} -\frac{9}{8}x\sqrt{x^{2}-9} -\frac{81}{8}\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}-9}\bigr|+C.

Resposta

\int x^{2}\sqrt{x^{2}-9}\,dx =\frac{x^{3}}{4}\sqrt{x^{2}-9} -\frac{9}{8}x\sqrt{x^{2}-9} -\frac{81}{8}\ln\bigl|x+\sqrt{x^{2}-9}\bigr|+C.

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