Calcule e escreva na forma retangular
3 i^30-i^192 i-1

Passo 1

O enunciado pede para calcular a expressão
3,i^30 - i^192,i - 1
e escrevê-la na forma retangular (isto é, a + b,i). O conteúdo necessário envolve as potências de i (ciclo periódico de módulo 4) e a divisão de números complexos, que se faz multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador.

Passo 2

Primeiro, reduzimos as potências de i usando que i^4=1. Temos
30 bmod 4 = 2, 19 bmod 4 = 3,
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i^30 = i^2 = -1, i^19 = i^3 = -,i

Passo 3

Substituindo no numerador,
3,i^30 - i^19 = 3cdot(-1) - (-,i) = -3 + i
O denominador é
2,i - 1 = -1 + 2,i
Assim a expressão vira
-3 + i-1 + 2,i

Passo 4

Para racionalizar, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de -1 + 2,i, que é -1 - 2,i. Calculamos:
(-3 + i)(-1 - 2,i) = (-3)(-1) + (-3)(-2,i) + i(-1) + i(-2,i) = 3 + 6,i - i - 2,i^2 = 3 + 5,i - 2(-1) = 5 + 5,i,
e
(-1 + 2,i)(-1 - 2,i) = (-1)^2 - (2,i)^2 = 1 - 4,(-1) = 5

Passo 5

Dividindo pelo denominador real,
5 + 5,i5 = 1 + i

Resposta

1 + i

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