Calcule uma estimativa para y(1,6), de modo que y(x) seja a solução exata do PVI:
l y^prime=x raizy y(1)=2
utilizando o Método de Runge-Kutta de 4^a Ordem, com h=0,2.

Passo 1

O enunciado pede uma estimativa para
usando o Método de Runge–Kutta de 4ª ordem com passo até .

Passo 2

No método de Runge–Kutta de 4ª ordem, para cada iteração n definimos
f(x,y)=xraizy,
k1 = f(xn,yn), k2 = fl(xn+tfrac h2,,yn+tfrac h2,k1r),
k3 = fl(xn+tfrac h2,,yn+tfrac h2,k2r), k4 = f(xn+h,,yn+h,k3),
e então
yn+1 = yn + h6,(k1 + 2k2 + 2k3 + k4)

Passo 3

Iteração 1 (de x0=1 a x1=1,2, com y0=2):
k1 = 1cdotraiz2 = 1,4142,
k2 = 1,1cdotraiz2 + 0,1cdot1,4142 = 1,1cdotraiz2,14142 approx 1,6099,
k3 = 1,1cdotraiz2 + 0,1cdot1,6099 = 1,1cdotraiz2,16099 approx 1,6171,
k4 = 1,2cdotraiz2 + 0,2cdot1,6171 = 1,2cdotraiz2,32342 approx 1,8292
Logo
y1 = 2 + 0,26,(1,4142 + 2cdot1,6099 + 2cdot1,6171 + 1,8292) approx 2,3232

Passo 4

Iteração 2 (de x1=1,2 a x2=1,4, com y1approx2,3232):
k1 = 1,2cdotraiz2,3232 approx 1,8290,
k2 = 1,3cdotraiz2,3232 + 0,1cdot1,8290 = 1,3cdotraiz2,5061 approx 2,0581,
k3 = 1,3cdotraiz2,3232 + 0,1cdot2,0581 = 1,3cdotraiz2,5290 approx 2,0682,
k4 = 1,4cdotraiz2,3232 + 0,2cdot2,0682 = 1,4cdotraiz2,7596 approx 2,3145
Logo
y2 = 2,3232 + 0,26,(1,8290 + 2cdot2,0581 + 2cdot2,0682 + 2,3145) approx 2,7364

Passo 5

Iteração 3 (de x2=1,4 a x3=1,6, com y2approx2,7364):
k1 = 1,4cdotraiz2,7364 approx 2,3155,
k2 = 1,5cdotraiz2,7364 + 0,1cdot2,3155 = 1,5cdotraiz2,9679 approx 2,5852,
k3 = 1,5cdotraiz2,7364 + 0,1cdot2,5852 = 1,5cdotraiz3, -,?approx2,5958,
k4 = 1,6cdotraiz2,7364 + 0,2cdot2,5958 = 1,6cdotraiz3, -,?approx2,8869
Logo
y3 = 2,7364 + 0,26,(2,3155 + 2cdot2,5852 + 2cdot2,5958 + 2,8869) approx 3,2553

Resposta

A estimativa pelo método de Runge–Kutta de 4ª ordem para y(1,6) é
boxedy(1,6)approx3,2553

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