Calcule log 1, log 10, log 100, etc. e observe que o resultado é uma unidade a mais que o número de algarismos do número de entrada. Considere, agora, um número qualquer, por exemplo 32516. Como a função logaritmo é crescente, então log 10000<log 32516<log 100000 e, portanto, 4<log 32516< 5. Seguindo este raciocínio, concluímos que se um número inteiro N possui n algarismos, então n-1 <= log N<n. Utilize essa ideia para descobrir quantos algarismos possui o número 2^200.

Passo 1

O enunciado pede para descobrir quantos algarismos tem o número 2^200. Vamos usar o fato de que, para um inteiro positivo N com n algarismos, vale
10^n-1 <= N < 10^n
e, aplicando logaritmo decimal, obtemos
n-1 <= log N < n

Passo 2

Dessa desigualdade segue que
n = lfloor log N rfloor + 1
Ou seja, basta calcular log(2^200), tomar a parte inteira e somar 1 para ter o número de algarismos.

Passo 3

Calculamos
log(2^200) = 200 ,log 2
Sabemos que log 2 approx 0,30103. Logo,
200 times 0,30103 = 60,206

Passo 4

Tomando a parte inteira de 60,206 temos lfloor 60,206rfloor = 60. Portanto, o número de algarismos é
n = 60 + 1 = 61

Resposta

O número 2^200 possui 61 algarismos.

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