Dê exemplo de números reais a e b tais que |a+b|<|a|+|b|. O que se pode dizer a respeito dos sinais desses números?

Passo 1

O enunciado quer encontrar dois reais a e b tais que
|a+b|<|a|+|b|
e entender o que isso diz sobre os sinais de a e b. O conteúdo usado aqui é a desigualdade triangular para números reais, que garante sempre
|a+b|<=|a|+|b|,
sendo a igualdade exatamente quando a e b têm o mesmo sinal (ou um deles é zero).

Passo 2

Escolhemos um exemplo simples com sinais opostos, por exemplo
a = 1, b = -tfrac12
Então
a + b = 1 - tfrac12 = tfrac12,
logo
|a+b| = l|tfrac12r| = tfrac12
e
|a| + |b| = 1 + tfrac12 = tfrac32
Dessa forma,
|a+b| = tfrac12 < tfrac32 = |a| + |b|

Passo 3

Vimos que a desigualdade estrita aconteceu porque a e b têm sinais opostos (um positivo e outro negativo). De fato, na desigualdade triangular em R, a única forma de |a+b|<|a|+|b| ocorrer é quando a e b são não nulos e de sinais contrários.

Resposta

Um exemplo é
a=1, b=-tfrac12,
pois
|a+b|=tfrac12<tfrac32=|a|+|b|
Isso mostra que, para a desigualdade ser estrita, a e b devem ter sinais opostos.

Exercícios relacionados