Utilize as técnicas para construção de gráficos para fazer o gráfico das funções abaixo.
.
Passo 1
O enunciado pede o esboço do gráfico da função
O conteúdo aqui é o estudo de funções logarítmicas: precisamos determinar domínio, interceptos, assíntotas, monotonicidade, concavidade e alguns pontos notáveis para traçar o contorno da curva.
Passo 2
Determinar o domínio de
.
A função exige
. Aqui
, logo
A função
Portanto
Passo 3
Calcular interceptos com os eixos:
- Intercepto em
: implica e então
logo ponto
.
2. Intercepto em : em
,
2. Intercepto em
logo ponto
.
Passo 4
Verificar assíntotas:
, então há assíntota vertical em
Não há assíntota horizontal (o log cresce indefinidamente, embora muito lentamente).
Passo 5
Estudar derivadas para monotonicidade e concavidade:
logo
é estritamente crescente.
logo
é côncava para baixo em todo o domínio.
Passo 6
Escolher pontos adicionais para orientar o desenho:
- Para
, e , marcamos . - À medida que
, , mas com crescimento lento.
Passo 7
Esboçar o gráfico:
- Trace a reta vertical
como assíntota. - Marque os pontos
, e . - Desenhe a curva partindo de
logo à direita de , aumentando de forma suave e côncava para baixo, passando pelos pontos marcados e subindo indefinidamente para .
Resposta
O gráfico de
é uma curva logarítmica definida para
, com assíntota vertical em
, crescente e côncava para baixo, passando por
e
.