Sabemos que para todo a, b real tem-se |a+b| <=|a|+|b|. Como consequência deste fato mostre que | a|-|b|| <=|a-b| e que ||a|-|b|| >=|a|-|b|.

Passo 1

O enunciado parte do fato de que, para quaisquer reais a,b, vale a desigualdade triangular
|a+b|<=|a|+|b|
Ele pede para mostrar duas consequências sobre diferença de valores absolutos:
  1. l||a|-|b|r|<=|a-b|,
  2. l||a|-|b|r|>=|a|-|b|.
    Para isso vamos usar a desigualdade triangular e a propriedade de que |x|>= x para todo real x.

Passo 2

Aplicamos a desigualdade triangular a |a| escrevendo
|a| = |(a-b)+b|<=|a-b|+|b|
Rearranjando, obtém-se
|a|-|b|<=|a-b|
Trocando a e b e repetindo o argumento, temos
|b| = |(b-a)+a|<=|b-a|+|a|=|a-b|+|a|
que leva a
|b|-|a|<=|a-b|
Juntando as duas desigualdades surge
-!,|a-b|<=|a|-|b|<=|a-b|
e, por definição de módulo,
l||a|-|b|r|<=|a-b|

Passo 3

Para a segunda desigualdade basta usar que, para todo real x,
|x|>= x
Tomando x=|a|-|b| segue imediatamente
l||a|-|b|r|=|x|>= x=|a|-|b|

Resposta

l||a|-|b|r|<=|a-b|
l||a|-|b|r|>=|a|-|b|

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