Sabemos que para todo
real tem-se
. Como consequência deste fato mostre que
e que
.
Passo 1
O enunciado parte do fato de que, para quaisquer reais
, vale a desigualdade triangular
Ele pede para mostrar duas consequências sobre diferença de valores absolutos:
-
, -
.l||a|-|b|r|>=|a|-|b|
Para isso vamos usar a desigualdade triangular e a propriedade de que para todo real|x|>= x .x
Passo 2
Aplicamos a desigualdade triangular a
|a| escrevendo
Rearranjando, obtém-se
Trocando
a e
b e repetindo o argumento, temos
que leva a
Juntando as duas desigualdades surge
e, por definição de módulo,
Passo 3
Para a segunda desigualdade basta usar que, para todo real
x ,
Tomando
x=|a|-|b| segue imediatamente