Calcule E[X] se X tem uma função de densidade dada por
f(x)= 14 x e^-x / 2 & se x>0 0 & caso contrário á

Passo 1

O enunciado pede para calcular a esperança de uma variável contínua X cuja densidade é dada por
f(x)=1over4x e^-x/2&x>00&caso contrário á
O assunto é cálculo de esperança (E[X]) e podemos usar a definição de expectativa ou reconhecer essa densidade como uma distribuição Gama com parâmetros alpha=2 e beta=2.

Passo 2

A definição de esperança para variável contínua diz que
E[X]=integral0^+infty x f(x),dx
Substituindo f(x), temos
E[X]=integral0^+infty x cdot l(1over4 x e^-x/2r),dx

Passo 3

Vamos organizar a integral colocando o fator constante fora:
E[X]=1over4integral0^+infty x^2 e^-x/2,dx
Para calcular integral0^+infty x^2 e^-x/2,dx podemos usar a fórmula geral
integral0^+infty x^n e^-a x,dx=n!over a^n+1,
onde aqui n=2 e a=1/2.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Gama, obtemos
integral0^+infty x^2 e^-x/2,dx=2!over(1/2)^3=2over1/8=16
Então
E[X]=1over4times16=4

Resposta

E[X] = 4

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