Calcule E[X] se X tem uma função de densidade dada por
f(x)= 5x^2 & se x>5 0 & se x <= 5

Passo 1

O enunciado pede para calcular a esperança de uma variável contínua X cuja densidade é f(x)=5/x² para x>5, e zero caso contrário. O conteúdo é cálculo de valor esperado de variável contínua, e vamos precisar usar a definição E[X]=∫ x f(x) dx sobre o suporte de X.

Passo 2

A definição de esperança para variável contínua é
E[X]=integral-infty^+infty x,f(x),dx
Como f(x)=0 para x≤5, o integral se reduz a partir de x=5.
Substituímos a densidade no integral restrito a x>5:
E[X]=integral5^+infty x cdot 5x^2 ,dx
Aqui usamos a regra de produto em funções: x·(5/x²)=5/x.

Passo 3

Simplificamos o integrando e escrevemos o integral:
E[X]=5integral5^+infty 1x ,dx
Isso se baseia na propriedade de integrais de potências (e no fato de que 1/x é a função cuja primitiva é ln|x|).
Calculamos o integral impróprio:
5limbto+infty integral5^b 1x ,dx =5limbto+infty [ln(x)]5^b =5limbto+infty (ln b - ln 5)
Como ln bto+infty quando bto+infty, o integral diverge.

Passo 4

Concluímos que o valor esperado não converge para um número finito, ou seja, E[X] é infinito.

Resposta

E[X] diverge para +∞

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