Calcule
se
tem uma função de densidade dada por
Passo 1
O enunciado pede para calcular a esperança de uma variável contínua X cuja densidade é f(x)=5/x² para x>5, e zero caso contrário. O conteúdo é cálculo de valor esperado de variável contínua, e vamos precisar usar a definição E[X]=∫ x f(x) dx sobre o suporte de X.
Passo 2
A definição de esperança para variável contínua é
Como f(x)=0 para x≤5, o integral se reduz a partir de x=5.
Substituímos a densidade no integral restrito a x>5:
Substituímos a densidade no integral restrito a x>5:
Aqui usamos a regra de produto em funções: x·(5/x²)=5/x.
Passo 3
Simplificamos o integrando e escrevemos o integral:
Isso se baseia na propriedade de integrais de potências (e no fato de que 1/x é a função cuja primitiva é ln|x|).
Calculamos o integral impróprio:
Calculamos o integral impróprio:
Como
quando
, o integral diverge.
Passo 4
Concluímos que o valor esperado não converge para um número finito, ou seja, E[X] é infinito.
Resposta
E[X] diverge para +∞