Calcule
se
tem uma função de densidade dada por
Passo 1
O enunciado pede para calcular a esperança de uma variável aleatória contínua X cuja densidade é dada por f(x)=c(1−x²) em (−1,1). Estamos trabalhando com o conceito de esperança (valor esperado) de uma variável contínua e precisamos primeiro encontrar a constante de normalização c e depois usar a definição de E[X].
Passo 2
Para determinar c, usamos a condição de que a integral da densidade sobre todo o domínio deve ser 1. Assim,
Passo 3
Calculando a integral:
Passo 4
Logo,
Passo 5
Agora, para calcular E[X], usamos a definição
Passo 6
Observe que a função integrando é ímpar (x·(1−x²) é ímpar) e o intervalo de integração é simétrico em relação a zero. Por teoria de integrais, a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero. Portanto,
Resposta
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