Calcule E[X] se X tem uma função de densidade dada por
f(x)= c(1-x^2) & se -1á

Passo 1

O enunciado pede para calcular a esperança de uma variável aleatória contínua X cuja densidade é dada por f(x)=c(1−x²) em (−1,1). Estamos trabalhando com o conceito de esperança (valor esperado) de uma variável contínua e precisamos primeiro encontrar a constante de normalização c e depois usar a definição de E[X].

Passo 2

Para determinar c, usamos a condição de que a integral da densidade sobre todo o domínio deve ser 1. Assim,
integral-1^1cl(1 - x^2r),dx = 1

Passo 3

Calculando a integral:
integral-1^1(1 - x^2),dx = [x - x^33]-1^1 = l(1 - tfrac13r) - l(-1 + tfrac13r) = tfrac23 + tfrac23 = tfrac43

Passo 4

Logo,
c cdot 43 = 1 Rightarrow c = 34

Passo 5

Agora, para calcular E[X], usamos a definição
E[X] = integral-1^1 x,f(x),dx = integral-1^1 x cdot 34l(1 - x^2r),dx

Passo 6

Observe que a função integrando é ímpar (x·(1−x²) é ímpar) e o intervalo de integração é simétrico em relação a zero. Por teoria de integrais, a integral de uma função ímpar em um intervalo simétrico é zero. Portanto,
E[X] = 0

Resposta

0

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