Seja X uma variável aleatória com função densidade de probabilidade dada por
f(x)= c(1-x^2) & se -1á
a) Qual é o valor de c?
b) Qual é a função distribuição acumulada de X ?

Passo 1

Na questão, temos a densidade de probabilidade f(x)=c(1-x^2) para -1 e zero caso contrário. O conteúdo envolve normalização de densidade e construção da função distribuição acumulada (CDF). Precisaremos usar a condição integral-infty^inftyf(x),dx=1 para achar c e depois integrar f(x) de -infty a x para obter F(x).

Passo 2

Para encontrar c, impomos a normalização da densidade:
integral-1^1c,(1-x^2),dx = 1
Calculando a integral,
integral-1^1(1-x^2),dx = [x-x^33]-1^1 = l(1-tfrac13r)-l(-1+tfrac13r)=43,
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ccdot43=1Longrightarrow c=34

Passo 3

Para -1, construímos a CDF como
F(x)=integral-1^xc,(1-t^2),dt
A primitiva de 1-t^2 é t-tfract^33, então
F(x)=34l[l(t-tfract^33r)r]-1^x =34l(x-tfracx^33+tfrac23r) =12+3x4-x^34

Passo 4

Por fim, escrevemos a CDF completa em forma de função por partes:
F(x)= 0,&x<=-1, tfrac12+tfrac3x4-tfracx^34,&-1=1

Resposta

O valor de c é 34. A função distribuição acumulada é
F(x)=0,&x<=-1,tfrac12+tfrac3x4-tfracx^34,&-1=1

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