A função densidade de probabilidade conjunta de
e
é dada por
a) Determine c.
b) Determine as densidades marginais de X e Y .
c) Determine
a) Determine c.
b) Determine as densidades marginais de X e Y .
c) Determine
Passo 1
O enunciado diz que temos a PDF conjunta
Isso cai em probabilidade contínua multivariada; vamos precisar normalizar para achar
Passo 2
Para achar
, impomos
$$1=\int_{y=0}{\infty}\int_{x=-y}{y}c,(x2-y2)e^{-y},dx,dy.
=-\frac{4c}{3}\cdot 3!= -8c.
$$
Passo 3
A densidade marginal de
vem de integrar em
:
A densidade marginal de
integra em
a partir de
:
$$f_X(x)=\int_{y=|x|}{\infty}c(x2-y2)e{-y}dy=-\frac{1}{8}\int_{|x|}{\infty}(x2-y2)e{-y}dy.
$$
$$\int_{|x|}{\infty}y2e{-y}dy=e{-|x|}(|x|^2+2|x|+2).
$$
Passo 4
Para calcular
usamos simetria de
:
$$f_X(x)=f_X(-x)\quad\Longrightarrow\quad E[X]=0.
$$
Resposta
a)
.
b) e
.
c) .
b)
c)