A função densidade de probabilidade conjunta de X e Y é dada por x <= y 0 E[X]
a) Determine c.
b) Determine as densidades marginais de X e Y .
c) Determine

Passo 1

O enunciado diz que temos a PDF conjunta
f(x,y)=c,(x^2-y^2)e^-y, -y<= x<= y,;y>0
Isso cai em probabilidade contínua multivariada; vamos precisar normalizar para achar c, depois integrar para as densidades marginais e, por fim, usar definição de esperança.

Passo 2

Para achar c, impomos
$$1=\int_{y=0}{\infty}\int_{x=-y}{y}c,(x2-y2)e^{-y},dx,dy.
1=integraly=0^inftyintegralx=-y^yc,(x^2-y^2)e^-y,dx,dy \int_{-y}{y}(x2-y2),dx=\int_{-y}{y}x2,dx-\int_{-y}{y}y2,dx=\frac{2y3}{3}-2y3=-\frac{4}{3}y3.
integral-y^y(x^2-y^2),dx=integral-y^yx^2,dx-integral-y^yy^2,dx=2y^33-2y^3=-43y^3 ã1=c\int_{0}{\infty}\Bigl(-\frac{4}{3}y3\Bigr)e^{-y}dy
=-\frac{4c}{3}\cdot 3!= -8c.
1=cintegral0^inftyl(-43y^3r)e^-ydy =-4c3cdot 3!= -8c c=-\frac{1}{8}.
$$

Passo 3

A densidade marginal de Y vem de integrar em x:
fY(y)=integral-y^yf(x,y),dx=-18e^-yintegral-y^y(x^2-y^2)dx =-18e^-yl(-tfrac43y^3r)=16y^3e^-y, para y>0.
A densidade marginal de X integra em y a partir de |x|:
$$f_X(x)=\int_{y=|x|}{\infty}c(x2-y2)e{-y}dy=-\frac{1}{8}\int_{|x|}{\infty}(x2-y2)e{-y}dy.
fX(x)=integraly=|x|^inftyc(x^2-y^2)e^-ydy=-18integral|x|^infty(x^2-y^2)e^-ydy \int_{|x|}{\infty}x2e{-y}dy=x2e^{-|x|},
$$
$$\int_{|x|}{\infty}y2e{-y}dy=e{-|x|}(|x|^2+2|x|+2).
integral|x|^inftyx^2e^-ydy=x^2e^-|x|, f_X(x)=-\frac{1}{8}e{-|x|}\bigl(x2-(|x|2+2|x|+2)\bigr)=\frac{e{-|x|}}{4}(|x|+1).
$$

Passo 4

Para calcular E[X] usamos simetria de fX:
$$f_X(x)=f_X(-x)\quad\Longrightarrow\quad E[X]=0.
$$

Resposta

a) c=-tfrac18.
b) fY(y)=tfrac16y^3e^-y,;y>0 e fX(x)=tfrace^-|x|4(|x|+1),;xin R.
c) E[X]=0.

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