A função densidade de probabilidade conjunta de X e Y é dada por
$$f(x, y)=e^{-(x+y)}
0 \leq x \leq \infty,
0 \leq y \leq \infty$$
Determine
f(x, y)=e^-(x+y) 0 <= x <= infty, 0 <= y <= infty

Passo 1

Resumo do enunciado: temos a densidade conjunta de X e Y dada por f(x,y)=e^-(x+y) para x>=0,y>=0. O conteúdo é marginalização de distribuições contínuas, e precisamos encontrar P[X.

Passo 2

Calcular a densidade marginal de X:
$$f_X(x)=\int_{0}{\infty}f(x,y),dy=\int_{0}{\infty}e{-(x+y)},dy=e{-x}.
$$
Aqui usamos a propriedade de que a integral de fX(x)=integral0^inftyf(x,y),dy=integral0^inftye^-(x+y),dy=e^-x de zero a infinito é 1.

Passo 3

Integrar a densidade marginal até a para obter P[X:
$$P[X<a]=\int_{0}{a}f_X(x),dx=\int_{0}{a}e{-x},dx=1-e{-a}.
$$

Resposta

1 - e^{-a}

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