A função densidade de probabilidade conjunta de X e Y é dada por
$$f(x, y)=e^{-(x+y)}
0 \leq x \leq \infty,
0 \leq y \leq \infty$$
Determine
Determine
Passo 1
Resumo do enunciado: temos a densidade conjunta de
e
dada por
para
. O conteúdo é marginalização de distribuições contínuas, e precisamos encontrar
.
Passo 2
Calcular a densidade marginal de
:
$$f_X(x)=\int_{0}{\infty}f(x,y),dy=\int_{0}{\infty}e{-(x+y)},dy=e{-x}.
$$
Aqui usamos a propriedade de que a integral de de zero a infinito é 1.
Aqui usamos a propriedade de que a integral de
Passo 3
Integrar a densidade marginal até
para obter
:
$$P[X<a]=\int_{0}{a}f_X(x),dx=\int_{0}{a}e{-x},dx=1-e{-a}.
$$
Resposta
1 - e^{-a}