Calcule a excentricidade da elipse \frac{(x-2)^{2}}{36}+\frac{(y+1)^{2}}{20}=1.

Passo 1

O enunciado dá a elipse
\frac{(x-2)^{2}}{36} + \frac{(y+1)^{2}}{20} = 1
cujo centro é (2,-1).
Estamos em geometria analítica de elipses e queremos calcular a excentricidade, que é definida por
e = \frac{c}{a},
onde a é o semi-eixo maior e c satisfaz c^{2} = a^{2} - b^{2}, sendo b o semi-eixo menor.

Passo 2

Na forma padrão da elipse
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}} + \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}} = 1,
com a\ge b, identificamos diretamente
a^{2} = 36,\quad b^{2} = 20.
Logo
a = 6,\quad b = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.

Passo 3

Calculamos primeiro
c^{2} = a^{2} - b^{2} = 36 - 20 = 16,
portanto
c = \sqrt{16} = 4.
A excentricidade é
e = \frac{c}{a} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.

Resposta

A excentricidade da elipse é \displaystyle \frac{2}{3}.

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