Classifique a cônica representada por 4 x^{2}-9 y^{2}-16 x+54 y-101=0 e encontre seus elementos principais.

Passo 1

O enunciado pede para classificar a cônica
4x^{2}-9y^{2}-16x+54y-101=0
e encontrar seus elementos principais. Vamos usar o método de completar quadrados para reescrevê-la na forma canônica e daí identificar tipo, centro, vértices, focos e assíntotas.

Passo 2

Agrupamos termos em x e y e completamos quadrados:
4x^{2}-16x \;-\;9y^{2}+54y \;-\;101=0
4\bigl(x^{2}-4x\bigr)\;-\;9\bigl(y^{2}-6y\bigr)\;-\;101=0.
Dentro de cada parêntese:
x^{2}-4x = (x-2)^{2}-4,\quad y^{2}-6y=(y-3)^{2}-9.
Substituindo:
4\bigl((x-2)^{2}-4\bigr)-9\bigl((y-3)^{2}-9\bigr)-101=0
4(x-2)^{2}-16 -9(y-3)^{2}+81 -101=0
4(x-2)^{2}-9(y-3)^{2}+65-101=0
4(x-2)^{2}-9(y-3)^{2}=36.

Passo 3

Dividindo ambos os lados por 36, obtemos a forma canônica:
\frac{(x-2)^{2}}{9} \;-\;\frac{(y-3)^{2}}{4} \;=\;1.

Passo 4

Da forma
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1
reconhecemos uma hipérbole com eixo transverso horizontal, onde
(h,k)=(2,3),\qquad a^{2}=9,\;b^{2}=4,\;a=3,\;b=2.
O parâmetro c satisfaz c^{2}=a^{2}+b^{2}=9+4=13, logo c=\sqrt{13}.
  • Vértices em \bigl(2\pm a,3\bigr) = (5,3) e (-1,3).
  • Focos em \bigl(2\pm c,3\bigr) = \bigl(2\pm\sqrt{13},3\bigr).
  • Assíntotas:
y-3 = \pm\frac{b}{a}(x-2) \quad\Longrightarrow\quad y-3 = \pm\frac{2}{3}(x-2).

Resposta

Classificação: hipérbole de eixo transverso horizontal.
Centro: (2,3)
Vértices: (5,3) e (-1,3)
Focos: \bigl(2+\sqrt{13},3\bigr) e \bigl(2-\sqrt{13},3\bigr)
Assíntotas:
y-3 = \frac{2}{3}(x-2) \quad\text{e}\quad y-3 = -\frac{2}{3}(x-2).

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