Mostre que a equação x^{2}+y^{2}+4 x-6 y+13=0 representa um único ponto e encontre suas coordenadas.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação
x^{2} + y^{2} + 4x - 6y + 13 = 0
que é da forma geral de uma circunferência. Para ver se ela se reduz a um ponto, vamos completar quadrados em x e em y.

Passo 2

Complete o quadrado em x. Note que
x^{2} + 4x = (x + 2)^{2} - 4.

Passo 3

Complete o quadrado em y. Note que
y^{2} - 6y = (y - 3)^{2} - 9.

Passo 4

Substituindo esses resultados na equação original, temos
(x+2)^{2} - 4 \;+\;(y-3)^{2} - 9 \;+\;13 \;=\;0.
Em seguida, simplificando os termos constantes:
(x+2)^{2} + (y-3)^{2} \;-\;4 -9 +13 \;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad (x+2)^{2} + (y-3)^{2} = 0.

Passo 5

Como soma de dois quadrados só pode ser zero se cada um deles for zero, concluímos
x + 2 = 0 \quad\text{e}\quad y - 3 = 0.
Logo, a única solução é x = -2 e y = 3.

Resposta

As coordenadas do ponto são \bigl(-2,\,3\bigr).

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