1. (Pedro) Seja D: \mathcal{P}_{2} \rightarrow \mathcal{P}_{2} o operador derivada D(p(x))=p^{\prime}(x). Encontre seus autovalores e bases para os respectivos autoespaços.

Passo 1

O enunciado define o operador linear de derivação
\,D\colon\mathcal{P}_{2}\to\mathcal{P}_{2}, D(p(x))=p'(x), e pede seus autovalores e bases dos respectivos autoespaços.
Para isso, usamos a definição de autovalor:
D(p)=\lambda p
ou seja
p'(x)=\lambda\,p(x),
procurando soluções não nulas em \mathcal{P}_2.

Passo 2

Seja
p(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},
então
p'(x)=2a_{2}x+a_{1}.
A condição p'(x)=\lambda p(x)
2a_{2}x+a_{1} =\lambda\bigl(a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\bigr).
Igualando coeficientes de potências de x, obtemos o sistema
0 = \lambda\,a_{2},
2a_{2} = \lambda\,a_{1},
a_{1} = \lambda\,a_{0}.

Passo 3

Analisando o sistema:
  • Se \lambda\neq0, da primeira equação vem a_{2}=0.
    Da segunda, 2\cdot0=\lambda a_{1} implica a_{1}=0.
    Da terceira, a_{1}=\lambda a_{0} implica a_{0}=0.
    Logo só a solução trivial, sem autovetores não nulos.
  • Se \lambda=0, a primeira é automática, a segunda dá 2a_{2}=0\implies a_{2}=0,
    a terceira dá a_{1}=0, e a_{0} fica livre.
    Assim os polinômios são p(x)=a_{0}, constantes não nulas.

Passo 4

Concluímos que o único autovalor é \lambda=0 e seu autoespaço é o conjunto dos polinômios constantes, que é de dimensão 1.

Resposta

Autovalor: \lambda=0
Base do autoespaço correspondente: \{\,1\}

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