- (Pedro) Seja
o operador derivada
. Encontre seus autovalores e bases para os respectivos autoespaços.
Passo 1
O enunciado define o operador linear de derivação
,
, e pede seus autovalores e bases dos respectivos autoespaços.
Para isso, usamos a definição de autovalor:
Para isso, usamos a definição de autovalor:
ou seja
procurando soluções não nulas em
.
Passo 2
Seja
então
A condição
dá
Igualando coeficientes de potências de
, obtemos o sistema
Passo 3
Analisando o sistema:
-
Se
, da primeira equação vem .
Da segunda,implica .
Da terceira,implica .
Logo só a solução trivial, sem autovetores não nulos. -
Se
, a primeira é automática, a segunda dá ,
a terceira dá, e fica livre.
Assim os polinômios são, constantes não nulas.
Passo 4
Concluímos que o único autovalor é
e seu autoespaço é o conjunto dos polinômios constantes, que é de dimensão 1.
Resposta
Autovalor:
Base do autoespaço correspondente:
Base do autoespaço correspondente: