1. Calcule a excentricidade da hipérbole cuja equação é 36 x^{2}-49 y^{2}=1.

Passo 1

O enunciado pede a excentricidade de uma hipérbole dada por
36x^{2}-49y^{2}=1.
O conteúdo envolve hipérboles em forma padrão
\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1
e a definição de excentricidade e=\frac{c}{a}, onde c^{2}=a^{2}+b^{2}.

Passo 2

Começamos colocando a equação na forma padrão. Dividindo ambos os lados de
36x^{2}-49y^{2}=1
por 1, percebemos que podemos escrever
36x^{2}-49y^{2}=1\quad\Longleftrightarrow\quad\frac{x^{2}}{\tfrac{1}{36}}-\frac{y^{2}}{\tfrac{1}{49}}=1.
Dessa forma identificamos
a^{2}=\frac{1}{36}, \qquad b^{2}=\frac{1}{49}.

Passo 3

Agora calculamos c a partir de
c^{2}=a^{2}+b^{2} =\frac{1}{36}+\frac{1}{49} =\frac{49+36}{36\cdot49} =\frac{85}{1764}.
Logo
c=\sqrt{\frac{85}{1764}}=\frac{\sqrt{85}}{42}.

Passo 4

Finalmente, a excentricidade é
e=\frac{c}{a} =\frac{\tfrac{\sqrt{85}}{42}}{\tfrac{1}{6}} =\frac{\sqrt{85}}{42}\cdot6 =\frac{\sqrt{85}}{7}.

Resposta

\displaystyle e=\frac{\sqrt{85}}{7}.

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