1. Qual é a equação do conjunto dos pontos P(x, y) cuja soma das distâncias a F_{1}(0,-5) e F_{2}(0,55) é 68 ?

Passo 1

O enunciado pede a equação do lugar geométrico dos pontos P(x,y) tais que a soma das distâncias a
F_1(0,-5) e F_2(0,55) seja igual a 68. Esse é o caso clássico de uma elipse definida como o conjunto dos pontos cuja soma das distâncias a dois focos é constante.

Passo 2

Calcule a distância entre os focos F_1 e F_2. Como ambos têm abscissa zero, basta subtrair as ordenadas:
F_1F_2 = |55 - (-5)| = 60.
Na definição de elipse, essa distância corresponde a 2c. Logo,
2c = 60 \quad\Longrightarrow\quad c = 30.

Passo 3

Pela definição de elipse, a soma das distâncias a F_1 e F_2 é 2a. Como foi dado que essa soma vale 68, temos
2a = 68 \quad\Longrightarrow\quad a = 34.

Passo 4

Para determinar o semi-eixo menor b, usamos a relação
b^2 = a^2 - c^2.
Substituindo a=34 e c=30, vem
b^2 = 34^2 - 30^2 = 1156 - 900 = 256.

Passo 5

O centro da elipse é o ponto médio dos focos, isto é,
\Bigl(0,\frac{55 + (-5)}{2}\Bigr) = (0,25).
Como a soma das distâncias é maior no eixo vertical, o semi-eixo maior a fica na direção y. A equação reduzida da elipse com centro (0,25) é
\frac{(x-0)^2}{b^2} + \frac{(y-25)^2}{a^2} = 1.
Substituindo a^2=1156 e b^2=256, obtemos a forma final.

Resposta

\frac{x^2}{256} + \frac{(y-25)^2}{1156} = 1

Exercícios relacionados