1. Obtenha os focos da cônica cuja equação é dada por: 7(x-2)^{2}-9(y-2)^{2}=63

Passo 1

O enunciado dá a equação
7(x-2)^{2}-9(y-2)^{2}=63
e pede os focos. Trata-se de uma hipérbole, cujo estudo envolve escrever a equação na forma padrão, identificar o centro, os valores de a e b e usar a relação
c^{2}=a^{2}+b^{2}
para encontrar a distancia focal c.

Passo 2

Dividindo ambos os lados de
7(x-2)^{2}-9(y-2)^{2}=63
por 63, obtemos a forma padrão
\frac{(x-2)^{2}}{9}\;-\;\frac{(y-2)^{2}}{7}\;=\;1.

Passo 3

Da forma
\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}} - \frac{(y-k)^{2}}{b^{2}} = 1
vemos que o centro é (h,k)=(2,2), que
a^{2}=9\quad\Rightarrow\quad a=3
e
b^{2}=7\quad\Rightarrow\quad b=\sqrt{7}.

Passo 4

Na hipérbole a distância focal c satisfaz
c^{2} = a^{2} + b^{2} = 9 + 7 = 16
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c = \sqrt{16} = 4.

Passo 5

Como o termo positivo está em x, a hipérbole abre-se horizontalmente, e os focos ficam a uma distância c do centro ao longo do eixo x. Assim,
F_{1} = (2 - 4,\;2) = (-2,2), \quad F_{2} = (2 + 4,\;2) = (6,2).

Resposta

(-2,2) e (6,2)

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