Considere os grupos aditivos \mathbb{Z}^{4}=\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} e J=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\\ c & d\end{array}\right) \in M_{2}(\mathbb{Z}) ; a+d=0\right\}, e a aplicação f: \mathbb{Z}^{4} \rightarrow J definida por f(x, y, z, t)=\left(\begin{array}{cc}x, & y \\\ z, & -x\end{array}\right). Mostre que a aplicação f definida acima é um homomorfismo de grupos

Passo 1

O enunciado trabalha com os grupos aditivos \mathbb{Z}^4 e
J = \Bigl\{\,\begin{pmatrix}a & b\\\ c & d\end{pmatrix}\in M_2(\mathbb{Z}) \mid a + d = 0\Bigr\}
e define
f(x,y,z,t)=\begin{pmatrix}x & y\\\ z & -x\end{pmatrix}.
Para mostrar que f é homomorfismo de grupos aditivos, precisamos provar duas coisas:
  1. f(x,y,z,t) realmente pertence a J para todo (x,y,z,t).
  2. f\bigl((x_1,y_1,z_1,t_1)+(x_2,y_2,z_2,t_2)\bigr) = f(x_1,y_1,z_1,t_1) + f(x_2,y_2,z_2,t_2).

Passo 2

Primeiro, verifiquemos que a imagem de qualquer elemento de \mathbb{Z}^4 está em J. Se
f(x,y,z,t)=\begin{pmatrix}x & y\\\ z & -x\end{pmatrix},
então a soma dos elementos da diagonal é
x + (-x) = 0.
Logo, \bigl(x,\,y,\,z,\,t\bigr) é levado para uma matriz cuja soma da diagonal é zero, isto é, f(x,y,z,t)\in J.

Passo 3

Agora, seja
u=(x_1,y_1,z_1,t_1),\quad v=(x_2,y_2,z_2,t_2)\in\mathbb{Z}^4.
Pela definição da adição em \mathbb{Z}^4,
u+v = (\,x_1+x_2,\\ y_1+y_2,\\ z_1+z_2,\\ t_1+t_2\,).
Aplicando f, temos
f(u+v) = \begin{pmatrix}x_1+x_2 & y_1+y_2\\[6pt] z_1+z_2 & -(x_1+x_2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x_1 & y_1\\[3pt] z_1 & -x_1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}x_2 & y_2\\[3pt] z_2 & -x_2\end{pmatrix} = f(u) + f(v).
Isso mostra que f preserva a operação de adição.]

Resposta

f é um homomorfismo de grupos aditivos, pois mapeia \mathbb{Z}^4 em J e satisfaz
f(u+v)=f(u)+f(v).

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