Considere os grupos aditivos
e
, e a aplicação
definida por
. Mostre que a aplicação
definida acima é um homomorfismo de grupos
Passo 1
O enunciado trabalha com os grupos aditivos
e
e define
Para mostrar que
é homomorfismo de grupos aditivos, precisamos provar duas coisas:
-
realmente pertence a para todo . -
.
Passo 2
Primeiro, verifiquemos que a imagem de qualquer elemento de
está em
. Se
então a soma dos elementos da diagonal é
Logo,
é levado para uma matriz cuja soma da diagonal é zero, isto é,
.
Passo 3
Agora, seja
Pela definição da adição em
,
Aplicando
, temos
Isso mostra que
preserva a operação de adição.]