Calcule se existir lim x 0 4 dotsen dotx+dot1-cos dotx4 x^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto 0 4sin x + 1 - cos x4x^2
Esse é um limite do tipo 0/0, então podemos usar o Teorema de l’Hôpital para resolvê-lo.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada por substituição direta x=0:
sin 0=0, cos 0=1 Rightarrow numerador =4cdot0+1-1=0 e denominador =4cdot0^2=0.
Logo, temos 0/0.

Passo 3

Aplicando l’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
f(x)=4sin x+1-cos x Longrightarrow f'(x)=4cos x+sin x,
g(x)=4x^2 Longrightarrow g'(x)=8x
Portanto,
limxto 0 4sin x + 1 - cos x4x^2 = limxto 0 4cos x + sin x8x

Passo 4

No limite
limxto 0 4cos x + sin x8x,
o numerador tende a 4 e o denominador tende a 0.
Para xto0^+, o quociente to +infty;
para xto0^-, o quociente to -infty.
Como não há um valor finito único, o limite não existe.

Resposta

O limite não existe (diverge para +infty pela direita e -infty pela esquerda).

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